本文關(guān)鍵詞：兩類圖的譜確定問題研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：圖譜理論起源于理論化學(xué)家和物理學(xué)家為解決一類偏微分方程的數(shù)值解而建立起來的一套離散的圖模型.它在物理學(xué)、化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)及通信網(wǎng)絡(luò)等方面都有著十分廣泛的應(yīng)用.圖譜理論主要是利用矩陣?yán)碚撝械姆椒ê图记?來研究圖矩陣(如鄰接矩陣A,拉普拉斯矩陣L=D-A,無符號拉普拉斯矩陣Q=D+A,規(guī)范拉普拉斯矩陣?L=D-12 LD-12,Seidel矩陣S=J-2A-I等)的譜(特征值及其重?cái)?shù))的性質(zhì)進(jìn)而用這些性質(zhì)來反映圖的一些結(jié)構(gòu)性質(zhì)和拓?fù)湫再|(zhì),它是代數(shù)圖論中一個重要的研究領(lǐng)域.圖譜理論研究的內(nèi)容相當(dāng)廣泛,概括起來主要包括兩個方面,一個方面是圖的譜特征,主要涉及確定圖的譜及其分布,確定譜的性質(zhì),譜與圖的各種參數(shù)(例如直徑,色數(shù),圍長,連通度等)之間的關(guān)系等;另一個方面是譜的圖特征,主要是根據(jù)譜的性質(zhì)刻畫圖等,其中圖的譜確定問題是其研究的重點(diǎn).兩個圖同譜是指它們有相同的譜.兩個圖同譜不一定同構(gòu),但是兩個圖同構(gòu)則一定同譜.一個圖G被稱作是由譜確定的,如果對于任意一個圖H,由H與G同譜蘊(yùn)含著H與G同構(gòu).圖的譜確定問題是指,對于一個圖,首先考慮該圖是否由譜確定;其次如果該圖不能由譜確定則考慮找出它所有的同譜圖.圖的譜確定問題最早由G¨unthard和Primas提出,接著van Dam和Haemers發(fā)表了兩篇綜述文章對此問題進(jìn)行了概括總結(jié),并給出了很多譜確定圖及圖同譜的必要條件.但是“哪些圖是由它的譜所確定的”這個問題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解決.從已經(jīng)取得的研究結(jié)果來看,譜確定問題主要考慮具有一定特性的圖,如對稱性較好的圖、譜半徑在一定范圍之內(nèi)的圖、特征值個數(shù)較少的圖、非正則且度序列中不同度數(shù)較少的圖(例如幾乎正則圖)等.雖然目前已經(jīng)知道了很多譜確定圖,但是要考慮一般圖是否由譜所確定還是有很大難度的.在本文中,我們主要考慮兩類圖的譜確定問題,一類是第二大特征值小于等于1的單圈圖的鄰接譜確定問題,另一類是4-玫瑰圖的拉普拉斯譜確定及無符號拉普拉斯譜確定問題.本文結(jié)構(gòu)安排如下:第一章首先簡要介紹了圖譜理論的研究背景及應(yīng)用.其次給出了本文要用到的基本概念和符號.隨后對譜確定問題的來源,國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及發(fā)展動態(tài)做了概括總結(jié).此外,我們還引入了一些研究譜確定問題常用的工具、方法及結(jié)論.最后介紹了本文的主要研究工作.對第二大特征值不超過1的圖的刻畫已經(jīng)取得了很多研究成果,本論文的第二章則從圖的譜確定角度來研究這些圖.我們主要考慮第二大特征值小于等于1的單圈圖的鄰接譜確定問題.首先我們對第二大特征值小于等于1的所有單圈圖進(jìn)行分類并且證明了具有這一性質(zhì)的所有單圈圖之間不是鄰接同譜的.其次我們給出了與具有這一性質(zhì)的圖鄰接同譜的必要條件并且找到了一些禁止子圖.再次,我們根據(jù)分類逐一考慮了這些圖的譜確定性.其中重點(diǎn)證明了圖Gt,s是由它的鄰接譜所確定的.最后,利用禁止子圖條件證明了在第二大特征值小于等于1的單圈圖中,除了四個圖外,其它的圖都是由它們的鄰接譜所確定的.此外,我們還給出了不能由鄰接譜所確定的那些圖的同譜對.具有p個花瓣的圖(簡稱為p-玫瑰圖)是指p個圈恰有一個公共頂點(diǎn)的圖,“玫瑰圖”的得名由玫瑰曲線而來.玫瑰圖的譜確定問題一直受到人們的關(guān)注.第三章我們考慮了4-玫瑰圖的拉普拉斯譜確定性.首先我們介紹了兩個圖L-同譜的一個必要條件.其次根據(jù)4-玫瑰圖的組合結(jié)構(gòu)給出了它的拉普拉斯特征多項(xiàng)式中倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù).另外,我們還給出了4-玫瑰圖的拉普拉斯特征多項(xiàng)式的表達(dá)式.最后根據(jù)4-玫瑰圖的拉普拉斯譜半徑的界得出L-同譜于4-玫瑰圖的圖可能的度序列.最終證明了4-玫瑰圖是由它的拉普拉斯譜所確定的.第四章我們討論了4-玫瑰圖的無符號拉普拉斯譜確定性.我們首先引進(jìn)了一個新的Q-同譜不變量并給出了4-玫瑰圖的無符號拉普拉斯特征多項(xiàng)式的表達(dá)式.其次介紹了Q-同譜于4-玫瑰圖的圖可能的形.再次,利用無符號拉普拉斯譜半徑的界討論了Q-同譜于4-玫瑰圖的圖可能的度序列.最后利用Q-同譜圖的新的不變量和圖中三角形的數(shù)目證明了4-玫瑰圖是由它的無符號拉普拉斯譜所確定的.
【關(guān)鍵詞】：鄰接(拉普拉斯 無符號拉普拉斯)譜確定 第二大特征值 單圈圖 r-圈圖 4-玫瑰圖
【學(xué)位授予單位】：新疆大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O157.5
【目錄】：

• 摘要2-4
• Abstract4-9
• 第一章 緒論9-26
• 1.1 圖譜理論的研究背景及應(yīng)用9-11
• 1.2 基本概念與常用符號11-14
• 1.3 譜確定問題的起源、研究現(xiàn)狀及發(fā)展動態(tài)14-17
• 1.4 譜確定問題的研究工具、方法及結(jié)論17-23
• 1.5 本文的主要研究工作23-26
• 第二章 第二大特征值小于等于1的單圈圖的鄰接譜確定26-43
• 2.1 準(zhǔn)備知識27-28
• 2.2 集合U (λ_2) 中的圖相互是不同譜的28-32
• 2.3 集合U_3(λ_2) 中的圖的鄰接譜確定32-38
• 2.4 集合U4(λ_2) 和U5(λ_]2) 中的圖的鄰接譜確定38-43
• 第三章 4-玫瑰圖的拉普拉斯譜確定43-56
• 3.1 準(zhǔn)備知識44-45
• 3.2 4-玫瑰圖的拉普拉斯特征多項(xiàng)式中倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)45-47
• 3.3 4-玫瑰圖的拉普拉斯特征多項(xiàng)式47-51
• 3.4 4-玫瑰圖是DLS的51-56
• 第四章 4-玫瑰圖的無符號拉普拉斯譜確定56-68
• 4.1 準(zhǔn)備知識56-57
• 4.2 沒有兩個非同構(gòu)的 4-玫瑰圖是Q-同譜的57-62
• 4.3 4-玫瑰圖是DQS的62-68
• 參考文獻(xiàn)68-77
• 科研成果77-79
• 致謝79-80

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  本文關(guān)鍵詞：兩類圖的譜確定問題研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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