本文關(guān)鍵詞：大維Spike模型下的極限譜性質(zhì)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：本文主要研究了大維樣本協(xié)方差陣(特別是在總體是spike模型下)的一些漸近性質(zhì),例如其線性譜統(tǒng)計量的中心極限定理,最大特征根的幾乎處處收斂及漸近分布,最大特征向量的幾乎處處極限等。第一章主要是關(guān)于隨機(jī)矩陣,大維樣本協(xié)方差陣及spike模型的背景介紹及現(xiàn)有結(jié)論的綜述。第二章主要是對總體協(xié)方差陣的結(jié)構(gòu)做假設(shè)檢驗。假設(shè)有一組p維的樣本Y1,...,Yn,我們要做如下球型檢驗：H0:∑p=δ2Ip vs H1:∑p≠δ2Ip,其中的參數(shù)σ2是未知的。原假設(shè)表示樣本K是不相關(guān)的并且具有相同的方差。我們記K的樣本協(xié)方差矩陣為Sn=n-1∑iYiYi*,它的p個特征根為{li}1≤i≤p。在經(jīng)典的大樣本情形下(即維數(shù)p固定,樣本量n趨于無窮時),假設(shè)樣本來自高斯總體,有兩種方法來檢驗以上的假設(shè)：一種是極大似然比檢驗(LRT),其統(tǒng)計量為樣本幾何平均值與算術(shù)平均值比值的冪函數(shù)：另一種是John在1971年提出的統(tǒng)計量：我們稱其為John's test。在原假設(shè)Ho下分別成立-2 log Ln(?)xf2和T2(?)χf2,其中χf2是一個自由度為f=1/2p(p+1)-1的卡方分布�？偹苤�,當(dāng)維數(shù)p趨于無窮時,經(jīng)典的多元統(tǒng)計方法會受到維數(shù)的挑戰(zhàn),因此我們這一章的目的就是改進(jìn)這兩個經(jīng)典的統(tǒng)計量,使之適用于大維的框架。我們的研究框架是：p→∞,n→∞,p/n→y0(LRT需要y1)。我們證明了這兩個統(tǒng)計量在原假設(shè)下都是漸近正態(tài)的：和其中κ是指示觀測變量是實值還是復(fù)值的指示參數(shù),β=E|xij|4-1-k。另外值得注意的是,這兩個改進(jìn)后的統(tǒng)計量在原假設(shè)下的極限分布都是普適的,它們只依賴于觀測樣本的前四階矩,而與其具體的分布無關(guān)。第三章主要對spike模型下樣本協(xié)方差陣線性譜統(tǒng)計量中心極限定理的中心化參數(shù)做了修正。我們假設(shè)總體協(xié)方差陣∑p的特征根是如下形式：這里M和重數(shù)(nk)是固定的,并且滿足n1+…+nk=M。記Sn是對應(yīng)這樣一個spike總體的樣本協(xié)方差陣,由于M是固定的,Sn的極限譜分布與沒有spike的情況相同,還是δ1�？紤]Sn的線性譜統(tǒng)計量：Xn(f)=p{FSn(f)-Fyn,Hn},根據(jù)線性譜統(tǒng)計量的中心極限定理,我們有(Xn(f1),...,Xn(fk))弱收斂到一個高斯向量(Xf1,...,Xfk,其均值和協(xié)方差與Sn的極限譜分布有關(guān)(與spike無關(guān))。但是由于Fyn,Hn依賴于Hn,而Hn是總體協(xié)方差陣的經(jīng)驗分布,因此與spike有關(guān),所以我們在這一章的主要工作是對Fyn,Hn這一項做了漸近展開,保留了其O(1/p)的項。作為一個應(yīng)用,我們把第二章的球型檢驗限制在一個特殊的備擇假設(shè)下：H1*:∑p∝spike結(jié)構(gòu)(0.0.1),利用這一章的結(jié)果,我們可以得到第二章提出的兩個檢驗統(tǒng)計量在這個特殊的備擇假設(shè)下的勢函數(shù)。第四章的主要結(jié)果是得到了幾個隨機(jī)半雙線性型的聯(lián)合中心極限定理。具體來說,對于l=1,…,K,我們定義其中X(l)和Y(l)是n維的向量,其元素滿足一定的條件,An和Bn是滿足一定條件的兩個不同的埃爾米特矩陣(或者對稱矩陣)。我們的主要結(jié)果是得到了隨機(jī)向量(U(1),…,U(K),V(1),…,V(K))的聯(lián)合正態(tài)性,并且給出了其協(xié)方差矩陣。其證明思路是證明其任意的線性組合收斂到一個正態(tài)分布,接著我們利用矩方法,只需要說這個線性組合的任意k階矩收斂到這個正態(tài)分布的k階矩即可。作為其應(yīng)用,我們考慮了大維spike模型下兩個新的問題：(1)樣本協(xié)方差陣任意兩組(甚至是任意有限組)極值特征根的聯(lián)合分布；(2)樣本協(xié)方差陣極值特征根及其對應(yīng)的特征向量的聯(lián)合分布。由于現(xiàn)有的文獻(xiàn)如[7],[8],[10],[11]和[50]都是考慮單個的或者是一組(對應(yīng)于同一個總體的spike特征根)樣本極值特征根的幾乎處處極限或者是漸近分布,另外還沒有文獻(xiàn)考慮spike模型下樣本極值特征向量的漸近分布。我們這一章得到的結(jié)果可以看成是現(xiàn)有結(jié)論的一個推廣(比如考慮(1)中的邊緣分布,就能得到單個或者一組極值特征根的漸近分布；考慮(2)的邊緣分布,就能得到極值特征向量的漸近分布)。第五章是對本文的一個小結(jié)。
【關(guān)鍵詞】：隨機(jī)矩陣 樣本協(xié)方差陣 球型檢驗 spike模型 線性譜統(tǒng)計量 極值特征根 極值特征向量 Stieltjes變換 矩方法 中心極限定理 聯(lián)合分布 隨機(jī)半雙線性型
【學(xué)位授予單位】：浙江大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O211.4
【目錄】：

• 致謝5-7
• 序言7-13
• 摘要13-16
• Abstract16-20
• 文中部分縮寫及符號說明20-24
• 第一章 預(yù)備知識24-34
• 1.1 基本概念24-26
• 1.1.1 ESD和LSD24
• 1.1.2 Stieltjes變換24-26
• 1.1.3 M-P分布26
• 1.2 樣本協(xié)方差陣的極限譜分布26-28
• 1.2.1 獨立情形26-27
• 1.2.2 一般的M-P分布27-28
• 1.3 線性譜統(tǒng)計量的中心極限定理28-30
• 1.4 Spike模型下的極值特征根和特征向量30-34
• 第二章 大維框架下的球形檢驗34-61
• 2.1 大維框架下的球型檢驗統(tǒng)計量36-41
• 2.1.1 CLRT37-38
• 2.1.2 CJ38-41
• 2.2 模擬41-47
• 2.3 推廣47-48
• 2.4 證明48-56
• 2.4.1 引理2.1.2的證明48-55
• 2.4.2 引理2.1.4的證明55-56
• 2.5 總結(jié)56-57
• 附錄A57-61
• 第三章 Spike模型下線性譜統(tǒng)計量的中心化參數(shù)61-78
• 3.1 介紹61-62
• 3.2 Spike模型下線性譜統(tǒng)計量的中心化參數(shù)62-71
• 3.3 在大維球形檢驗中的應(yīng)用71-73
• 附錄B73-78
• 3.3.1 (3.3.19)的證明73-75
• 3.3.2 (3.3.20)的證明75-76
• 3.3.3 (3.3.22)的證明76-78
• 第四章 隨機(jī)半雙線性型的聯(lián)合中心極限定理78-109
• 4.1 介紹78-79
• 4.2 隨機(jī)半雙線性型的聯(lián)合中心極限定理79-88
• 4.3 在大維spike模型下的兩個應(yīng)用88-99
• 4.3.1 預(yù)備知識88-91
• 4.3.2 樣本極值特征根的聯(lián)合分布91-97
• 4.3.3 樣本極值特征根和特征向量的聯(lián)合分布97-99
• 4.4 定理4.3.2和4.3.6的證明99-104
• 4.4.1 定理4.3.2的證明99-100
• 4.4.2 定理4.3.6的證明100-104
• 附錄C104-109
• 第五章 結(jié)束語109-111
• 參考文獻(xiàn)111-118
• 攻讀博士期間的論文完成情況118-119
• 作者簡歷119

【共引文獻(xiàn)】

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7 李映雪;認(rèn)知無線電中的頻譜感知技術(shù)研究[D];北京郵電大學(xué);2013年

8 肖曼琳;車載認(rèn)知無線電中的信號檢測與參數(shù)估計技術(shù)研究[D];電子科技大學(xué);2013年

9 夏寧寧;大維隨機(jī)矩陣特征向量的極限分析[D];東北師范大學(xué);2013年

10 王勵勵;協(xié)方差矩陣的譜分析及其應(yīng)用[D];浙江大學(xué);2014年

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3 李雪芹;帶Berkson測量誤差的變系數(shù)模型的檢驗[D];山東大學(xué);2010年

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6 劉巖;基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰陌l(fā)射天線數(shù)目盲估計[D];西安電子科技大學(xué);2014年

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  本文關(guān)鍵詞：大維Spike模型下的極限譜性質(zhì)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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本文編號：330839