本文關(guān)鍵詞：求解對(duì)流擴(kuò)散方程的全離散局部間斷Galerkin方法，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：局部間斷Galerkin (LDG)方法自提出以來已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于求解對(duì)流擴(kuò)散方程,并在高階偏微分方程的數(shù)值求解方法研究中取得極大成功,然而相比于數(shù)值格式的快速發(fā)展和應(yīng)用,理論研究則相對(duì)滯后；相關(guān)文獻(xiàn)中關(guān)于全離散LDG方法的理論分析更是鳳毛麟角。在實(shí)際計(jì)算中,求解發(fā)展型方程總是要借助于一定的時(shí)間離散方法,因此全離散方法的理論分析至關(guān)重要。本文我們將以對(duì)流擴(kuò)散方程為主體,著重研究全離散LDG方法的穩(wěn)定性和誤差估計(jì)。本文的主要內(nèi)容有三章：第二章,我們考慮顯式Runge-Kutta(RK)全離散LDG方法(簡記為EXRK-LDG)求解帶Dirichlet邊界條件的對(duì)流擴(kuò)散方程。此時(shí)有兩個(gè)主要難點(diǎn)：一是區(qū)域邊界處的數(shù)值流通量設(shè)置方式；二是RK方法每個(gè)中間時(shí)間層在邊界處的設(shè)置。不適當(dāng)?shù)脑O(shè)置方法會(huì)影響格式的整體精度。本文將利用能量分析方法,建立三階EXRK-LDG方法的誤差估計(jì),進(jìn)而給出數(shù)值流通量的一種經(jīng)濟(jì)有效的選取方法和每個(gè)中間時(shí)間層的邊界設(shè)置方法。在這樣的設(shè)置方法下,可以證明,當(dāng)時(shí)間步長τ滿足CFL條件cτ/h≤λc和dτ/h2≤λd時(shí),三階EXRK-LDG格式在時(shí)間和空間上都能達(dá)到L2模的最優(yōu)階收斂。這里c,d分別是對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù),h是空間網(wǎng)格尺寸,λc和λd是給定的CFL數(shù)。如果對(duì)流占優(yōu),則顯格式的時(shí)空限制條件為τ=O(h),顯式時(shí)間離散方法是一個(gè)很好的選擇。但是對(duì)于擴(kuò)散占優(yōu)情形,顯式時(shí)間離散對(duì)時(shí)間步長的限制為7-=O(h2),這個(gè)條件比較苛刻。為此,我們也將研究一類半隱半顯式(Implicit-Explicit,簡稱IMEX)時(shí)間離散方法,對(duì)于對(duì)流項(xiàng)采用顯式離散方式,而對(duì)于擴(kuò)散項(xiàng)采用隱式離散方式。這類時(shí)間離散方法能克服顯式時(shí)間離散小時(shí)間步長的限制,可以高效求解擴(kuò)散占優(yōu)的對(duì)流擴(kuò)散問題,尤其是擴(kuò)散部分是線性而對(duì)流部分是非線性的情形。第三章,考慮RK型的IMEX全離散LDG格式(簡記為IMEX-RK-LDG).從一維線性對(duì)流擴(kuò)散方程出發(fā),通過建立數(shù)值解的梯度和跳量與梯度的數(shù)值解之間的重要關(guān)系,以及IMEX-RK-LDG格式滿足的能量方程,我們將利用能量分析方法證明,在時(shí)間步長滿足τ≤τ0的條件下,幾個(gè)特殊的IMEX-RK-LDG格式是L2穩(wěn)定的,這里τ0不依賴于空間尺寸h,只與對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)有關(guān)。嚴(yán)格的分析表明,τ0與擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)成正比,與對(duì)流項(xiàng)系數(shù)的平方成反比。在這個(gè)條件下,我們也將證明IMEX-RK-LDG格式具有最優(yōu)的L2模收斂階。第四章,以一維和高維非線性對(duì)流擴(kuò)散方程為模型,研究IMEX-RK-LDG方法和多步IMEX全離散LDG方法(簡記為IMEX-MS-LDG)的穩(wěn)定性和誤差估計(jì)。其中,第一節(jié)通過建立與線性情形類似的LDG空間離散性質(zhì),并借助于先驗(yàn)誤差假設(shè),得到與第三章類似的結(jié)果。第二節(jié)將利用能量分析方法證明,在時(shí)間步長滿足τ≤τ0的條件下,幾個(gè)特殊的IMEX-MS-LDG格式滿足能量范數(shù)穩(wěn)定,且具有最優(yōu)的L2模收斂階。第三節(jié)通過建立高維空間上數(shù)值解的梯度和跳量與梯度的數(shù)值解之間的重要關(guān)系,得到與第三章類似的穩(wěn)定性結(jié)果,同時(shí),借助于間斷有限元空間的橢圓投影,給出高維空間上IMEX-RK-LDG方法的最優(yōu)L2模誤差估計(jì)。
【關(guān)鍵詞】：對(duì)流擴(kuò)散方程 局部間斷Galerkin方法 全離散 顯式Runge-Kutta 半隱半顯式時(shí)間離散 能量分析 穩(wěn)定性 誤差估計(jì)
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 中文摘要4-6
• 英文摘要6-10
• 第一章 緒論10-24
• 1.1 背景介紹10-18
• 1.1.1 對(duì)流擴(kuò)散方程及其數(shù)值研究10-11
• 1.1.2 間斷Galerkin方法11-14
• 1.1.3 局部間斷Galerkin方法14-16
• 1.1.4 線方法與時(shí)間離散16-18
• 1.2 主要研究內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排18-19
• 1.3 預(yù)備知識(shí)19-24
• 1.3.1 基本符號(hào)19-20
• 1.3.2 有限元空間20-22
• 1.3.3 幾個(gè)特殊的投影22-23
• 1.3.4 基本不等式23-24
• 第二章 顯式RK全離散LDG方法的數(shù)值分析24-48
• 2.1 半離散LDG格式24-28
• 2.2 顯式RK時(shí)間離散方法28-30
• 2.3 Dirichlet邊界問題的全離散誤差估計(jì)30-42
• 2.3.1 全離散LDG格式30-31
• 2.3.2 誤差估計(jì)31-42
• 2.4 數(shù)值試驗(yàn)42-45
• 2.5 本章小結(jié)45-48
• 第三章 IMEX-RK全離散LDG方法的數(shù)值分析48-68
• 3.1 IMEX-RK時(shí)間離散方法49-50
• 3.2 半離散LDG格式50-53
• 3.3 IMEX-RK全離散LDG格式的穩(wěn)定性分析53-59
• 3.3.1 一階格式53-54
• 3.3.2 二階格式54-56
• 3.3.3 三階格式56-59
• 3.4 IMEX-RK全離散LDG方法的誤差估計(jì)59-64
• 3.5 數(shù)值試驗(yàn)64-66
• 3.6 本章小結(jié)66-68
• 第四章 IMEX-LDG格式的推廣68-112
• 4.1 非線性問題68-83
• 4.1.1 非線性穩(wěn)定性分析71-73
• 4.1.2 誤差估計(jì)73-82
• 4.1.3 數(shù)值試驗(yàn)82-83
• 4.2 IMEX-MS全離散LDG方法83-92
• 4.2.1 IMEX-MS時(shí)間離散方法84-85
• 4.2.2 IMEX-MS全離散LDG方法的穩(wěn)定性分析85-88
• 4.2.3 IMEX-MS全離散LDG方法的誤差估計(jì)88-91
• 4.2.4 數(shù)值試驗(yàn)91-92
• 4.3 二維非線性對(duì)流擴(kuò)散方程92-108
• 4.3.1 半離散LDG方法93-99
• 4.3.2 穩(wěn)定性分析99-100
• 4.3.3 二維橢圓投影100-103
• 4.3.4 誤差估計(jì)103-107
• 4.3.5 數(shù)值試驗(yàn)107-108
• 4.4 本章小結(jié)108-112
• 第五章 結(jié)論112-115
• 5.1 研究內(nèi)容112
• 5.2 工作意義112-113
• 5.3 展望113-115
• 參考文獻(xiàn)115-125
• 博士在讀期間的研究成果125-126
• 致謝126-127

【共引文獻(xiàn)】

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