發(fā)布時間：2017-04-12 02:12

  本文關鍵詞：求解對流擴散方程的全離散局部間斷Galerkin方法，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：局部間斷Galerkin (LDG)方法自提出以來已經被廣泛應用于求解對流擴散方程,并在高階偏微分方程的數值求解方法研究中取得極大成功,然而相比于數值格式的快速發(fā)展和應用,理論研究則相對滯后；相關文獻中關于全離散LDG方法的理論分析更是鳳毛麟角。在實際計算中,求解發(fā)展型方程總是要借助于一定的時間離散方法,因此全離散方法的理論分析至關重要。本文我們將以對流擴散方程為主體,著重研究全離散LDG方法的穩(wěn)定性和誤差估計。本文的主要內容有三章：第二章,我們考慮顯式Runge-Kutta(RK)全離散LDG方法(簡記為EXRK-LDG)求解帶Dirichlet邊界條件的對流擴散方程。此時有兩個主要難點：一是區(qū)域邊界處的數值流通量設置方式；二是RK方法每個中間時間層在邊界處的設置。不適當的設置方法會影響格式的整體精度。本文將利用能量分析方法,建立三階EXRK-LDG方法的誤差估計,進而給出數值流通量的一種經濟有效的選取方法和每個中間時間層的邊界設置方法。在這樣的設置方法下,可以證明,當時間步長τ滿足CFL條件cτ/h≤λc和dτ/h2≤λd時,三階EXRK-LDG格式在時間和空間上都能達到L2模的最優(yōu)階收斂。這里c,d分別是對流項和擴散項系數,h是空間網格尺寸,λc和λd是給定的CFL數。如果對流占優(yōu),則顯格式的時空限制條件為τ=O(h),顯式時間離散方法是一個很好的選擇。但是對于擴散占優(yōu)情形,顯式時間離散對時間步長的限制為7-=O(h2),這個條件比較苛刻。為此,我們也將研究一類半隱半顯式(Implicit-Explicit,簡稱IMEX)時間離散方法,對于對流項采用顯式離散方式,而對于擴散項采用隱式離散方式。這類時間離散方法能克服顯式時間離散小時間步長的限制,可以高效求解擴散占優(yōu)的對流擴散問題,尤其是擴散部分是線性而對流部分是非線性的情形。第三章,考慮RK型的IMEX全離散LDG格式(簡記為IMEX-RK-LDG).從一維線性對流擴散方程出發(fā),通過建立數值解的梯度和跳量與梯度的數值解之間的重要關系,以及IMEX-RK-LDG格式滿足的能量方程,我們將利用能量分析方法證明,在時間步長滿足τ≤τ0的條件下,幾個特殊的IMEX-RK-LDG格式是L2穩(wěn)定的,這里τ0不依賴于空間尺寸h,只與對流項和擴散項系數有關。嚴格的分析表明,τ0與擴散項系數成正比,與對流項系數的平方成反比。在這個條件下,我們也將證明IMEX-RK-LDG格式具有最優(yōu)的L2模收斂階。第四章,以一維和高維非線性對流擴散方程為模型,研究IMEX-RK-LDG方法和多步IMEX全離散LDG方法(簡記為IMEX-MS-LDG)的穩(wěn)定性和誤差估計。其中,第一節(jié)通過建立與線性情形類似的LDG空間離散性質,并借助于先驗誤差假設,得到與第三章類似的結果。第二節(jié)將利用能量分析方法證明,在時間步長滿足τ≤τ0的條件下,幾個特殊的IMEX-MS-LDG格式滿足能量范數穩(wěn)定,且具有最優(yōu)的L2模收斂階。第三節(jié)通過建立高維空間上數值解的梯度和跳量與梯度的數值解之間的重要關系,得到與第三章類似的穩(wěn)定性結果,同時,借助于間斷有限元空間的橢圓投影,給出高維空間上IMEX-RK-LDG方法的最優(yōu)L2模誤差估計。
【關鍵詞】：對流擴散方程 局部間斷Galerkin方法 全離散 顯式Runge-Kutta 半隱半顯式時間離散 能量分析 穩(wěn)定性 誤差估計
【學位授予單位】：南京大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82
【目錄】：

• 中文摘要4-6
• 英文摘要6-10
• 第一章 緒論10-24
• 1.1 背景介紹10-18
• 1.1.1 對流擴散方程及其數值研究10-11
• 1.1.2 間斷Galerkin方法11-14
• 1.1.3 局部間斷Galerkin方法14-16
• 1.1.4 線方法與時間離散16-18
• 1.2 主要研究內容和結構安排18-19
• 1.3 預備知識19-24
• 1.3.1 基本符號19-20
• 1.3.2 有限元空間20-22
• 1.3.3 幾個特殊的投影22-23
• 1.3.4 基本不等式23-24
• 第二章 顯式RK全離散LDG方法的數值分析24-48
• 2.1 半離散LDG格式24-28
• 2.2 顯式RK時間離散方法28-30
• 2.3 Dirichlet邊界問題的全離散誤差估計30-42
• 2.3.1 全離散LDG格式30-31
• 2.3.2 誤差估計31-42
• 2.4 數值試驗42-45
• 2.5 本章小結45-48
• 第三章 IMEX-RK全離散LDG方法的數值分析48-68
• 3.1 IMEX-RK時間離散方法49-50
• 3.2 半離散LDG格式50-53
• 3.3 IMEX-RK全離散LDG格式的穩(wěn)定性分析53-59
• 3.3.1 一階格式53-54
• 3.3.2 二階格式54-56
• 3.3.3 三階格式56-59
• 3.4 IMEX-RK全離散LDG方法的誤差估計59-64
• 3.5 數值試驗64-66
• 3.6 本章小結66-68
• 第四章 IMEX-LDG格式的推廣68-112
• 4.1 非線性問題68-83
• 4.1.1 非線性穩(wěn)定性分析71-73
• 4.1.2 誤差估計73-82
• 4.1.3 數值試驗82-83
• 4.2 IMEX-MS全離散LDG方法83-92
• 4.2.1 IMEX-MS時間離散方法84-85
• 4.2.2 IMEX-MS全離散LDG方法的穩(wěn)定性分析85-88
• 4.2.3 IMEX-MS全離散LDG方法的誤差估計88-91
• 4.2.4 數值試驗91-92
• 4.3 二維非線性對流擴散方程92-108
• 4.3.1 半離散LDG方法93-99
• 4.3.2 穩(wěn)定性分析99-100
• 4.3.3 二維橢圓投影100-103
• 4.3.4 誤差估計103-107
• 4.3.5 數值試驗107-108
• 4.4 本章小結108-112
• 第五章 結論112-115
• 5.1 研究內容112
• 5.2 工作意義112-113
• 5.3 展望113-115
• 參考文獻115-125
• 博士在讀期間的研究成果125-126
• 致謝126-127

【共引文獻】

中國期刊全文數據庫 前10條

1 ;Numerical simulations of compressible mixing layers with a discontinuous Galerkin method[J];Acta Mechanica Sinica;2011年03期

2 陳二云;趙改平;戴韌;馬大為;;可壓縮多介質流動的間斷有限元方法[J];爆炸與沖擊;2010年04期

3 陳二云;趙改平;楊愛玲;;環(huán)形激波聚焦流場特性的數值研究[J];爆炸與沖擊;2012年03期

4 張鐵;李錚;;解一階雙曲問題間斷有限元方法的超收斂性質[J];東北大學學報(自然科學版);2012年01期

5 楊繼明;李熙;;非線性反應擴散問題兩網格混合有限元法的數值分析[J];湖南工程學院學報(自然科學版);2012年02期

6 ;Unified Analysis of the Hybrid Form of Mixed Finite Elements for Second Order Elliptic Problems[J];工程數學學報;1991年02期

7 張建松;;Sobolev方程的最小二乘混合有限元方法[J];工程數學學報;2009年04期

8 顧海明;HAMILTON-JACOBI-BELLMAN方程的混合元方法[J];高等學校計算數學學報;2001年02期

9 劉洋;李宏;文宗川;;一類二階線性拋物型方程的擴展混合有限元方法[J];高等學校計算數學學報;2008年03期

10 ;Development and Comparison of Numerical Fluxes for LWDG Methods[J];Numerical Mathematics:Theory,Methods and Applications;2008年04期

中國重要會議論文全文數據庫 前10條

1 華冬英;;微分復形與H(div)有限元空間的構造[A];Structure-preserving Algorithms 2003--Proceedings of CCAST(World Laboratory) Workshop[C];2003年

2 R.Hiptmair;;Finite elements in computational electromagnetism[A];Structure-preserving Algorithms 2003--Proceedings of CCAST(World Laboratory) Workshop[C];2003年

3 汪文帥;張懷;李小凡;;間斷的Galerkin方法在地震波場數值模擬中的應用概述[A];中國科學院地質與地球物理研究所2013年度（第13屆）學術論文匯編——地球深部結構與過程研究室[C];2014年

4 Haiqiang Lan;Zhongjie Zhang;;A High-Order Fast-Sweeping Scheme for Calculating First-Arrival Travel Times with an Irregular Surface[A];中國科學院地質與地球物理研究所2013年度（第13屆）學術論文匯編——特提斯研究中心[C];2014年

5 賀茜君;楊頂輝;吳昊;;一種基于ONAD算法和加權Runge-Kutta間斷有限元方法的混合算法[A];2014年中國地球科學聯合學術年會——專題19：地震波傳播與成像論文集[C];2014年

6 錢戰(zhàn)森;楊希明;李椿萱;;高超聲速鈍頭體繞流氣動熱計算的數值格式研究中存在的問題[A];探索 創(chuàng)新 交流——第六屆中國航空學會青年科技論壇文集（上冊）[C];2014年

7 歸明月;范寶春;;旋轉爆轟的三維數值模擬[A];第六屆全國強動載效應及防護學術會議暨2014年復雜介質/結構的動態(tài)力學行為創(chuàng)新研究群體學術研討會論文集[C];2014年

8 吳曉帥;趙玉新;;低耗散中心-WENO混合格式[A];中國計算力學大會2014暨第三屆錢令希計算力學獎頒獎大會論文集[C];2014年

9 王坤;劉鐵鋼;;基于DG處理邊界的有限差分WENO方法[A];中國計算力學大會2014暨第三屆錢令希計算力學獎頒獎大會論文集[C];2014年

10 程劍;劉鐵鋼;;雙曲守恒律的多區(qū)域耦合DG/WENO格式[A];中國計算力學大會2014暨第三屆錢令希計算力學獎頒獎大會論文集[C];2014年

中國博士學位論文全文數據庫 前10條

1 劉志平;無陀螺捷聯慣導系統(tǒng)若干關鍵技術研究[D];哈爾濱工程大學;2010年

2 李東方;幾類常及拋物型微分方程的數值算法研究[D];華中科技大學;2011年

3 劉洋;非標準混合元方法分析及數值模擬[D];內蒙古大學;2011年

4 汪波;求解時域麥克斯韋方程組的間斷伽略金方法[D];湖南師范大學;2011年

5 劉鳴放;三維四階問題及不可壓縮流的有限元分析[D];鄭州大學;2011年

6 易年余;基于梯度重構的后驗誤差估計及自適應有限元方法[D];湘潭大學;2011年

7 鄭小洋;積分方程和微分方程的幾種基于小波的新型數值解法[D];重慶大學;2011年

8 劉梅林;節(jié)點間斷伽遼金有限元方法及其在計算電磁學中的應用研究[D];南京航空航天大學;2011年

9 李燦華;平均間斷有限元的強超收斂性及其應用[D];湖南師范大學;2011年

10 陳鳳欣;油藏數值模擬方法研究及算法設計[D];山東師范大學;2012年

中國碩士學位論文全文數據庫 前10條

1 侯鵬;基于雙曲型方程RKDG法在流場及聲場中的數值模擬研究[D];哈爾濱工程大學;2010年

2 尹燕梅;對稱正則長波方程的廣義差分法及LDG方法[D];中國海洋大學;2010年

3 張聰聰;二階橢圓界面問題的混合元方法及其理論分析[D];山東師范大學;2011年

4 牛勤;二維PME方程的LDG方法的數值模擬[D];南京大學;2011年

5 劉旭恒;求解二維反應擴散方程的局部間斷有限元分裂算法研究[D];南京大學;2011年

6 趙春霖;一類拋物型積分—微分方程H~1-Galerkin混合有限元方法[D];內蒙古大學;2011年

7 白阿拉坦高娃;一維奇異微分方程的混合有限元方法[D];內蒙古大學;2011年

8 楊芳;局部間斷有限元求解帶有拋物邊界層的奇異攝動方程[D];湖南師范大學;2011年

9 武文娟;一類對流擴散方程的LDG有限元解法[D];新疆大學;2011年

10 張麗娜;空間H（div，Ω）的一個混合有限元逼近及其在一類小周期復合材料中的應用[D];鄭州大學;2011年

  本文關鍵詞：求解對流擴散方程的全離散局部間斷Galerkin方法，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：300489