本文關(guān)鍵詞：幾類含奇異攝動(dòng)的橢圓型方程解的存在性、集中性與多解性的研究，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：本文主要研究幾類含有奇異攝動(dòng)的Kirchhoff型方程,擬線性Schrodinger方程以及Schrodinger-Poisson方程的解的存在性,集中性以及多解性.本文共分為五章：在第一章中,我們先概述本文所研究的問(wèn)題的背景以及國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀,并簡(jiǎn)要介紹本文所做的主要工作以及相關(guān)的預(yù)備知識(shí)和一些記號(hào).在第二章與第三章中,我們研究了兩類含奇異攝動(dòng)的Kirchhoff型方程.在第二章中,我們研究了下述含有臨界Sobolev指標(biāo)的Kirchhoff型方程的解的存在性、集中性以及多解性,其中ε是一個(gè)足夠小的正數(shù),α,b是正常數(shù),f∈C1(R+,R)且次臨界增長(zhǎng)(f(u)～up-1(4p6)),V:R3→R是一個(gè)局部Holder連續(xù)函數(shù),通過(guò)運(yùn)用文獻(xiàn)[M. del Pino, P. L. Felmer, Calc. Var. Partial Differential Equations 4 (1996) 121-137]中提出的懲罰函數(shù)方法,我們首先證明當(dāng)ε0足夠小時(shí),上述方程具有一個(gè)指數(shù)衰減的弱解u。,并且,當(dāng)ε→0時(shí),uε集中于位勢(shì)V的局部極小值點(diǎn).根據(jù)極小極大定理和Ljusternik-Schnirelmann理論,我們通過(guò)研究位勢(shì)V(x)的局部極小值點(diǎn)所構(gòu)成的集合的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)得到了上述方程的一個(gè)多解性的結(jié)果.需要指出的是,為了克服含臨界指標(biāo)的非線性項(xiàng)u5的出現(xiàn)所引起的伸縮失緊,我們需要將泛函的能量降低至某一臨界能量之下.在文獻(xiàn)[J. Wang, L. Tian, J. Xu, F. Zhang, J. Differential Equations 253 (2012) 2314-2351]中, J.Wang et al.給出的臨界能量是其中S是D1,2(R3)→L6(R3)的最佳Sobolev嵌入常數(shù),但是c*不是最優(yōu)的.在本章中,我們給出了這一類Kirchhoff型方程的確切的臨界能量值：我們的結(jié)果是文獻(xiàn)[X. He, W. Zou, J. Differential Equations 2 (2012)1813-1834]關(guān)于全空間上的Kirchhoff型方程次臨界問(wèn)題的存在性、集中性與多解性的結(jié)果的部分推廣.在第三章中,我們研究下述含有臨界Sobolev指標(biāo)的Kirchhoff型方程的解的存在性與集中性.其中ε是一個(gè)足夠小的正數(shù),α,b是正常數(shù),λ0,2p≤4,我們構(gòu)造出一族解uε∈H1(R3),并且使得當(dāng)ε→0時(shí),u3將集中于位勢(shì)V的局部極小值點(diǎn).盡管,在文獻(xiàn)[Y. He, G. Li, S. Peng, Adv. Nonlinear Stud.14 (2014),441-468]中,Y. He, G. Li和S. Peng研究過(guò)下述含有臨界Sobolev指標(biāo)的Kirchhoff型方程其中f(u)～up-1(4 p 6),并且滿足Ambrosetti-Rabinowitz條件(以下簡(jiǎn)稱(AR)條件),從而保證了Palais-Smale序列(以下簡(jiǎn)稱(PS)序列)的有界性.但是,在本章中,g(u):=λ|u|p-2u+|u|4u(2p≤4)不滿足(AR)條件((?)μ4,0μ∫0ug(s)ds≤g(u)u),在證明正解的存在性的過(guò)程中,尋找有界的(PS)序列變成了一個(gè)主要的困難.另外,g(s)/s3(s0)不具備嚴(yán)格增性也導(dǎo)致了Nehari流形無(wú)法引入.我們的結(jié)果是文獻(xiàn)[Y. He, G. Li, S. Peng, Adv. Nonlinear Stud.14 (2014),441-468]的關(guān)于f(u)～|u|p-2u(4p6)的存在性與集中性結(jié)果的推廣.在第四章中,我們研究下列含臨界Sobolev指標(biāo)的Schrodinger-Poisson方程:的解的存在性與集中性.其中ε是一個(gè)足夠小的正數(shù),λ0,3p≤4,我們構(gòu)造出一族解uε∈H1(R3),并且使得當(dāng)ε→0時(shí),uε將集中于位勢(shì)V的局部極小值點(diǎn).盡管,對(duì)于含次臨界增長(zhǎng)的Schrodinger-Poiss(?)n方程非線性項(xiàng).f(u)～|u|p-2u(4p6)滿足(AR)條件,容易獲取有界的(PS)序列的情形已經(jīng)被廣泛地研究了,但是本章考慮的帶臨界項(xiàng)的情形更為復(fù)雜.由于9(u)：=λ|u|p-2u+|u|4u(3p≤4)不滿足(AR)條件((?)μ4,0μ∫0ug(s)ds≤g(u)u),在證明正解的存在性的過(guò)程中,尋找有界的(PS)序列變成了一個(gè)主要的困難.另外,g(s)/s3(s0)不具備嚴(yán)格增性也導(dǎo)致了Nehari流形無(wú)法引入.我們的結(jié)果是新的.在第五章中,我們研究下列含臨界Sobolev指標(biāo)的擬線性Schrodinger方程的解的存在性、集中性以及多解性.其中ε是一個(gè)足夠小的正數(shù),N≥3,2*=2N/(n-2),4q2·2*,min V0,inf W0,在某種適當(dāng)?shù)臈l件下,我們將證明上述方程的解的存在性與集中現(xiàn)象,再利用極小極大定理和Ljusternik-Schnirelmann理論,我們通過(guò)研究位勢(shì)V的全局極小值點(diǎn)所構(gòu)成的集合與位勢(shì)W的全局極大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來(lái)得到上述方程的多解性的結(jié)果.我們的結(jié)果是文獻(xiàn)[X.He,A.Qian,W.Zou,Nonlinearity 26(2013), 3137-3168]的結(jié)果的部分推廣.文獻(xiàn)[X.He,A.Qian,W.Zou,Nonlinearity 26(2013),313-3168]考慮了下述帶奇異攝動(dòng)的擬線性Schrodinger方程其中h(u)次臨界增長(zhǎng),V(x)滿足著名工作文獻(xiàn)[P.Rabinowitz,Z.Angew.Math. Phys.43(1992)270-291]的位勢(shì)條件：
【關(guān)鍵詞】：Kirchhoff型方程 Schr(o|")dinger-Poisson方程 擬線性Schr(o|")dinger方程 存在性 集中性 多解性 臨界增長(zhǎng) 無(wú)(AR)條件
【學(xué)位授予單位】：華中師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.25
【目錄】：

• 內(nèi)容摘要5-8
• Abstract8-14
• 第一章 緒論14-39
• 1.1 問(wèn)題的背景及研究現(xiàn)狀14-25
• 1.2 本文用到的主要記號(hào)25-26
• 1.3 本文用到的定義和定理26-30
• 1.4 本文的主要工作及其創(chuàng)新點(diǎn)30-38
• 1.5 本文結(jié)構(gòu)安排38-39
• 第二章 R~3上帶有局部位勢(shì)奇異攝動(dòng)的含Sobolev臨界指標(biāo)的Kirchhoff型方程的解的存在性、集中性以及多解性39-76
• 2.1 問(wèn)題的提出及其主要結(jié)果39-46
• 2.2 預(yù)備知識(shí)46-61
• 2.3 定理2.1.1的證明(存在性與集中性)61-65
• 2.4 定理2.1.2的證明(多解性)65-76
• 第三章 一類含局部位勢(shì)奇異攝動(dòng)的帶Sobolev臨界指標(biāo)的Kirchhoff型方程的解的存在性與集中性76-114
• 3.1 問(wèn)題的提出及主要結(jié)果76-79
• 3.2 極限方程的討論79-90
• 3.3 攝動(dòng)問(wèn)題的解的存在性與集中性90-114
• 第四章 一類含局部位勢(shì)奇異攝動(dòng)的帶Sobolev臨界指標(biāo)的Schrodinger-Poisson方程的解的存在性與集中性114-149
• 4.1 問(wèn)題的提出及主要結(jié)果115-120
• 4.2 預(yù)備知識(shí)120-121
• 4.3 極限方程的討論121-130
• 4.4 攝動(dòng)問(wèn)題的解的存在性與集中性130-149
• 第五章 一類含全局位勢(shì)奇異攝動(dòng)的帶Sobolev臨界指標(biāo)的擬線性Schrodinger方程解的存在性、集中性以及多解性149-184
• 5.1 問(wèn)題的提出及主要結(jié)果149-155
• 5.2 預(yù)備知識(shí)155-172
• 5.3 定理5.1.1的證明(存在性與集中性)172-175
• 5.4 定理5.1.2的證明(多解性)175-184
• 參考文獻(xiàn)184-192
• 研究生期間已發(fā)表和待發(fā)表的論文192-193
• 致謝193-194

【參考文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前1條

1 HE Yi;LI GongBao;;The existence and concentration of weak solutions to a class of p-Laplacian type problems in unbounded domains[J];Science China(Mathematics);2014年09期

  本文關(guān)鍵詞：幾類含奇異攝動(dòng)的橢圓型方程解的存在性、集中性與多解性的研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號(hào)：299079