本文關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階Laplace算子的譜理論及其在微分方程中的應(yīng)用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：本文主要研究帶權(quán)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階Laplace算子的譜理論,作為分?jǐn)?shù)階Laplace算子譜理論的應(yīng)用,我們建立了分?jǐn)?shù)階Laplacian擾動(dòng)問(wèn)題的單側(cè)全局分歧現(xiàn)象并考慮了分?jǐn)?shù)階非線性問(wèn)題定號(hào)解的存在性.本文具體由以下五部分內(nèi)容組成：首先介紹了分?jǐn)?shù)階微分方程的發(fā)展現(xiàn)狀、本文的主要工作、分?jǐn)?shù)階Laplace算子的定義、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的定義及其一些基本性質(zhì).其次運(yùn)用Ljusternik-Schnirelmann理論研究了分?jǐn)?shù)階Laplace線性微分算子的特征值和特征函數(shù),尤其證明了第一個(gè)特征值λ1是簡(jiǎn)單和孤立的.為了應(yīng)用的方便,緊接著考慮了分?jǐn)?shù)階Laplace算子擾動(dòng)問(wèn)題的單側(cè)全局分歧定理.假設(shè)擾動(dòng)函數(shù)Q滿足一些自然的增長(zhǎng)條件,我們得到(λ,,0)是問(wèn)題的分歧點(diǎn).并且存在從(λ1,0)分歧出的無(wú)界連通分支C,它由兩個(gè)無(wú)界的子連通分支c+和c-組成.基于上面的單側(cè)全局分歧定理,我們又研究了一類(lèi)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程定號(hào)解的存在性.這些譜理論和定號(hào)解的存在性結(jié)果部分地推廣了Servadei等人[Discrete Contin.Dyn.Syst.2013],[J.Math.Anal.Appl.2012]及Fiscella[Topol.Methods Nonlinear Anal.2014]的主要結(jié)果.接著研究了帶不可微非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程的單側(cè)全局分歧結(jié)構(gòu),我們分別討論了從平凡解線和無(wú)窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生的分歧.首先得到了從區(qū)間[λ1-d,λ1+d]×{0}分歧出一個(gè)無(wú)界的連通分支C,它由兩條無(wú)界的子連通分支c+和c-組成.其次證明了從區(qū)間[λ-d,λ1+d]×{+∞}分歧出一個(gè)無(wú)界的連通分支D,它也由兩個(gè)無(wú)界的子連通分支D+和D-組成,其中λ1是相應(yīng)線性分?jǐn)?shù)階Laplace微分算子的主特征值,d,d是正常數(shù).基于該單側(cè)全局區(qū)間分歧理論,我們獲得了分?jǐn)?shù)階半線性算子主半特征值的存在性,進(jìn)一步研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階非線性問(wèn)題定號(hào)解的存在性.這一章的主要結(jié)果把帶有不可微非線性項(xiàng)的古典橢圓微分方程的單側(cè)全局區(qū)間分歧定理推廣到分?jǐn)?shù)階情形,并獲得了分?jǐn)?shù)階半線性特征值問(wèn)題主半特征值的存在性.這些結(jié)果在分?jǐn)?shù)階情形下是新的.然后運(yùn)用拓?fù)涠群蚏abinowitz全局分歧定理,研究了分?jǐn)?shù)階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題正解解集連通分支的全局結(jié)構(gòu),其中RD0+α表示α∈(1,2]階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),λ0是一實(shí)參數(shù).本章的主要結(jié)果推廣并改進(jìn)了Bai et al [J. Math. Anal. Appl.2005]的主要結(jié)果.最后討論了分?jǐn)?shù)階微分包含問(wèn)題解的存在性,其中0Dx-β和xD1-β分別表示β∈(0,1)階左和右Riemann-Liouville積分,0p=1-q1并且F：[0,1]×R→R關(guān)于第二變?cè)獫M足局部Lipschitz條件.由于常數(shù)p和q僅僅滿足p+q=1,所以上述問(wèn)題沒(méi)有變分結(jié)構(gòu).盡管如此,我們運(yùn)用非光滑臨界點(diǎn)理論再結(jié)合迭代技巧,獲得了上述分?jǐn)?shù)階微分包含問(wèn)題解的存在性.本章主要結(jié)果推廣了p=q=1/2時(shí)文Teng et al [Appl. Math. Comput.20131的結(jié)果.
【關(guān)鍵詞】：分?jǐn)?shù)階Laplacian 譜理論 定號(hào)解 分?jǐn)?shù)階半線性問(wèn)題 半特征值 分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題 正解 微分包含 存在性
【學(xué)位授予單位】：蘭州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類(lèi)號(hào)】：O177;O175
【目錄】：

• 中文摘要3-5
• Abstract5-10
• 第一章 引言10-36
• 1.1 研究背景及研究意義10-12
• 1.2 本文的主要內(nèi)容12-25
• 1.2.1 分?jǐn)?shù)階Laplace線性算子譜理論、單側(cè)全局分歧及相應(yīng)非線性問(wèn)題定號(hào)解的存在性12-20
• 1.2.2 帶不可微擾動(dòng)項(xiàng)分?jǐn)?shù)階Laplace問(wèn)題的單側(cè)全局分歧、半線性分?jǐn)?shù)階Laplace算子譜理論及相應(yīng)非線性問(wèn)題定號(hào)解的存在性20-23
• 1.2.3 一類(lèi)分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題正解的存在性23-24
• 1.2.4 一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分包含問(wèn)題的可解性24-25
• 1.3 預(yù)備知識(shí)和記號(hào)25-36
• 1.3.1 分?jǐn)?shù)階Laplace算子的定義及分?jǐn)?shù)階Sobolev空間25-30
• 1.3.2 分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì)30-31
• 1.3.3 一些基本定義及記號(hào)31-36
• 第二章 分?jǐn)?shù)階Laplace算子譜理論、單側(cè)全局分歧及相應(yīng)非線性問(wèn)題定號(hào)解的存在性36-58
• 2.1 分?jǐn)?shù)階Laplace核及基本性質(zhì)36-37
• 2.2 分?jǐn)?shù)階Laplace算子的特征值及最小特征值和對(duì)應(yīng)特征函數(shù)的性質(zhì)37-46
• 2.3 分?jǐn)?shù)階Laplacian擾動(dòng)問(wèn)題的單側(cè)全局分歧46-53
• 2.4 分?jǐn)?shù)階Laplace非線性問(wèn)題定號(hào)解的存在性53-58
• 第三章 帶不可微擾動(dòng)項(xiàng)分?jǐn)?shù)階Laplace問(wèn)題的單側(cè)全局分歧、半線性分?jǐn)?shù)階Laplace算子譜理論及相應(yīng)非線性問(wèn)題定號(hào)解的存在性58-74
• 3.1 帶不可微非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階Laplace問(wèn)題在平凡解線和無(wú)窮遠(yuǎn)處的分歧58-66
• 3.2 分?jǐn)?shù)階Laplace半線性算子主半特征值和特征函數(shù)的存在性及應(yīng)用66-70
• 3.3 一類(lèi)帶不可微非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階Laplace問(wèn)題定號(hào)解的存在性70-74
• 第四章 一類(lèi)分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題正解的存在性74-88
• 4.1 預(yù)備知識(shí)75-79
• 4.2 平凡解線上產(chǎn)生的分歧79-82
• 4.3 無(wú)窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生的分歧82-85
• 4.4 正解解集的全局結(jié)構(gòu)85-88
• 第五章 一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分包含問(wèn)題的可解性88-102
• 5.1 預(yù)備知識(shí)及主要結(jié)果88-95
• 5.2 主要結(jié)果的證明95-102
• 第六章 結(jié)論及展望102-106
• 6.1 主要結(jié)論102-103
• 6.2 研究展望103-106
• 參考文獻(xiàn)106-116
• 在學(xué)期間的研究成果116-118
• 致謝118-119

  本文關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階Laplace算子的譜理論及其在微分方程中的應(yīng)用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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本文編號(hào)：291804