近年來(lái),隨著對(duì)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中各種復(fù)雜系統(tǒng)的深入研究,分?jǐn)?shù)階微積分在反常擴(kuò)散、黏彈性力學(xué)、軟物質(zhì)、電磁學(xué)、系統(tǒng)控制、生物醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域有了許多成功的應(yīng)用,有關(guān)其理論和應(yīng)用的研究在國(guó)際上已成為熱點(diǎn)。分?jǐn)?shù)階微分方程在描述一些具有記憶性或非局部性質(zhì)的過(guò)程或材料時(shí)比整數(shù)階微分方程模型更有優(yōu)勢(shì),其解析解通常難以獲得且大多含有計(jì)算困難的特殊函數(shù),這激發(fā)了廣大研究者從事分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)數(shù)值求解的興趣。當(dāng)前求解分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程、分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題及分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值方法主要集中于有限差分方法,其存儲(chǔ)要求高,計(jì)算量大,精度低。又因sinc函數(shù)和分?jǐn)?shù)次Jacobi多項(xiàng)式在逼近許多特殊函數(shù)時(shí)具有指數(shù)階收斂性,故本文充分利用它們的這種優(yōu)點(diǎn),采用它們作為基函數(shù),發(fā)展了求解分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題、分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題及分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的高精度數(shù)值方法。主要內(nèi)容和成果如下:第一章介紹了分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程、分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題與分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題及其求解方法的研究背景和現(xiàn)狀,提出了本文的研究動(dòng)機(jī),并簡(jiǎn)要列出了全文的研究?jī)?nèi)容和結(jié)構(gòu)。第二章首先介紹了與論文相關(guān)的一些特殊函數(shù)和Jacobi正交多項(xiàng)式,然后對(duì)三種常用的分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念及其若干性質(zhì)進(jìn)行了闡述。第三章結(jié)合有限差分方法和sinc配置逼近對(duì)一類分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值求解。首先利用有限差分方法在時(shí)間方向上對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行了半離散化,然后在空間方向上采用sinc配置法得到了全離散格式。根據(jù)sinc函數(shù)的一些性質(zhì),在每個(gè)時(shí)間步上,原問(wèn)題被簡(jiǎn)化為求解線性代數(shù)方程系統(tǒng)。該方法的穩(wěn)定性和收斂性理論被嚴(yán)格建立,并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了理論結(jié)果。接下來(lái),從積分形式的主方程出發(fā)導(dǎo)出了標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,證明了該積分形式的主方程與連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走(CTRW)模型是等價(jià)的,并采用sinc-Chebyshev配置方法對(duì)前述分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程進(jìn)行了數(shù)值求解。數(shù)值例子驗(yàn)證了該方法的可行性和高效性。特別地,當(dāng)在sinc配置方法中引入雙指數(shù)變換時(shí),空間方向的精度得到了較大提高。第四章發(fā)展了一種指數(shù)精度的Rayleigh-Ritz方法求解分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題�；诜�?jǐn)?shù)階Sturm-Liouville特征問(wèn)題的分?jǐn)?shù)次Jacobi多項(xiàng)式被用來(lái)作為基函數(shù)以逼近分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的真解,并通過(guò)Rayleigh-Ritz技術(shù)得到了與原問(wèn)題相關(guān)的線性代數(shù)方程系統(tǒng)。進(jìn)一步分析了該方法的分?jǐn)?shù)階變分的收斂性,并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了該方法具有指數(shù)收斂。所發(fā)展的方法在精度上優(yōu)于當(dāng)前各文獻(xiàn)中提出的方法,并具有較低的存儲(chǔ)要求。第五章討論了一類廣義分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值求解。首先通過(guò)分?jǐn)?shù)階變分法導(dǎo)出了該問(wèn)題的必要條件,得到了相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)。進(jìn)一步,針對(duì)實(shí)際應(yīng)用中廣泛出現(xiàn)的具有二次型性能指標(biāo)的分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題,給出了一種基于移位分?jǐn)?shù)次Jacobi多項(xiàng)式的數(shù)值求解方法,分析了其分?jǐn)?shù)階變分的收斂性。數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了該方法具有指數(shù)精度。
【學(xué)位單位】：湘潭大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2015
【中圖分類】：O241.82
【部分圖文】：

圖 2.1 Gamma函數(shù)在區(qū)間( 5,5]上的圖形Beta函數(shù)t函數(shù)又稱為第一類歐拉積分，其定義如下。.2 對(duì)任意Re(z) > 0,Re(ω) > 0，Beat函數(shù)B(z,ω)定義為B(z, ω) =∫10τz 1(1 τ )ω 1dτ. 了Beat函數(shù)的三維圖形。Beta函數(shù)滿足如下性質(zhì)：Beta函數(shù)關(guān)于變量z、ω對(duì)稱，通過(guò)變量變換可得B(z,ω) = B(ωBeta函數(shù)與Gamma函數(shù)之間的關(guān)系為B(z, ω) =Γ(z)Γ(ω)Γ(z + ω).

數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)Eα(z)。在圖2.3中，展示了α取不同值時(shí)單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)的曲線。Mittag-Leffler函數(shù)滿足如下性質(zhì)：（1）對(duì)任意|z| < 1，廣義Mittag-Leffler函數(shù)滿足∫∞0e ttβ 1Eα,β(tαz)dt =1z 1.（2）單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)對(duì)任意z ∈ C收斂。（3）對(duì)任意|z| < 1，單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)的Laplace變換滿足∫∞0e ztEα(zα)dt =1z z1 α.

圖 2.4 sinc函數(shù)在區(qū)間[ 6,6]上的圖形對(duì)任意的h > 0，下面給出帶有均勻網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的移位sinc函數(shù)的表達(dá)式S(k, h)(z) = sinc(z khh), k = 0, ±1, ±2, . . . . (2.1函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)xj= jh處有如下結(jié)論S(k, h)(jh) = δkj={1, k = j,0, k = j.于函數(shù)f(x),x ∈ R，若級(jí)數(shù)C(f, h)(x) =∑k∈Zf(kh)S(k, h)(x)斂，則稱該級(jí)數(shù)為f(x)的Whittaker函數(shù)，并有如下定理。
【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前2條

1 徐明瑜;譚文長(zhǎng);;中間過(guò)程、臨界現(xiàn)象——分?jǐn)?shù)階算子理論、方法、進(jìn)展及其在現(xiàn)代力學(xué)中的應(yīng)用[J];中國(guó)科學(xué)G輯:物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué);2006年03期

2 常福宣,陳進(jìn),黃薇;反常擴(kuò)散與分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程[J];物理學(xué)報(bào);2005年03期

本文編號(hào)：2862402