種群生態(tài)學(xué)是一門研究生物種群發(fā)展規(guī)律的科學(xué).通過建立種群動力學(xué)模型,描述種群與環(huán)境、種群與種群間相互作用的動力學(xué)關(guān)系.通過對數(shù)學(xué)模型的理解、解釋以及預(yù)測,分析各物種數(shù)量的變化,從而達(dá)到有效管理和保護(hù)生物種群的目的.傳染病動力學(xué)是根據(jù)種群生長的特點、疾病的發(fā)生、疾病在種群內(nèi)部的傳播性及發(fā)展變化等因素,建立反映傳染病動力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型,通過對其數(shù)學(xué)模型動力學(xué)性質(zhì)的分析,揭示傳染病的傳播規(guī)律,從而為傳染病的預(yù)防與控制提供理論依據(jù).因此,眾多學(xué)者通過建立各種形式的種群模型和傳染病模型,來研究種群生態(tài)學(xué)和傳染病學(xué)的動力學(xué)行為.本篇論文中,我們研究了若干生物學(xué)和傳染病學(xué)模型的動力學(xué)性質(zhì).本篇論文共分為四章.主要研究內(nèi)容及得到的重要定理如下：第一章主要介紹了捕食-被捕食模型和傳染病模型的研究背景及其意義,分?jǐn)?shù)階微分、隨機(jī)過程以及Markov切換過程的基本理論.第二章分別研究了分?jǐn)?shù)階的具有HollingⅠI功能反應(yīng)的捕食-被捕食模型和分?jǐn)?shù)階SIR傳染病模型.首先考慮分?jǐn)?shù)階的具有HollingⅡ功能反應(yīng)的捕食-被捕食模型其中x(t),y(t)分別表示被捕食者和捕食者在t時刻的種群密度.正參數(shù)a,b/a,γ,β,e和κ分別表示被捕食者x(t)的固有增長率,承受能力,最大攝入率,半飽和常數(shù),捕食者y(t)的死亡率及轉(zhuǎn)換因子.通過建立這種分?jǐn)?shù)階微分方程,可以更為準(zhǔn)確地描述自然界的復(fù)雜性和多尺度性.通過運(yùn)用修改的黎曼-劉維爾微分理論,我們得到了模型(0.0.1)正解的存在唯一性定理.定理0.0.1對于任意給定的初值(x(0),y(0))∈R+2,系統(tǒng)(0.0.1)存在唯一解(x(t),y(t)),t≥0.為研究模型(0.0.1)在平衡點的穩(wěn)定性,我們首先證明了分?jǐn)?shù)階微分方程的李雅普諾夫定理.考慮分?jǐn)?shù)階微分方程其中x和F(x)均為n維空間中的向量.假設(shè)f(0)=0,,(x)是定義在G：|x|H上的連續(xù)函數(shù),且局部地滿足Lipschitz條件.得到如下定理：利用此定理,討論了模型(0.0.1)在平衡點的穩(wěn)定性,得到結(jié)論如下：其次考慮分?jǐn)?shù)階SIR傳染病模型這里分別表示易感染者,染病者和恢復(fù)者.參數(shù)是正常數(shù),其中Λ表示個體進(jìn)入易感染者的數(shù)量；β表示傳染率；μ表示死亡率系數(shù)；￡表示因病死亡率；γ表示隔離率.基本再生數(shù)為為研究模型(0.0.3)解的存在唯一性,首先證明了分?jǐn)?shù)階微分方程的通解形式.考慮分?jǐn)?shù)階微分方程：其中A(t)和f(t)均為定義在區(qū)間I(?)R1上的函數(shù).定理0.0.4若f(t)(?)0,則是分?jǐn)?shù)階微分方程(0.0.4)的通解.運(yùn)用修改的黎曼-劉維爾微分理論及Lyapunov方法,并結(jié)合定理0.0.2,研究了模型(0.0.3)解的存在唯一性以及平衡點的穩(wěn)定性,得到結(jié)論如下：定理0.0.5對于任意給定的初值系統(tǒng)(0.0.3)存在唯一的全局正解定理0.0.6如果系統(tǒng)陽(0.0.3)存在無病平衡點E0=(Λ/μ,0,0),那么,系統(tǒng)(0.0.3)在無病平衡點E0處是漸近穩(wěn)定的.定理0.0.7如果系統(tǒng)(0.0.3)存在地方病平衡點E+,那么,系統(tǒng)陽(0.0.3)在地方病平衡點E*處是漸近穩(wěn)定的.第三章研究了一類Levy噪聲驅(qū)動的具有飽和發(fā)生率的隨機(jī)SEIR傳染病模型這里考慮到某些疾病在潛伏期也存在傳染性,故將種群細(xì)分為易感者(S),潛伏者(E),感染者(I)和恢復(fù)者(R).其中μs,μE,μI,μR分別表示S,E,I,R的自然死亡率,λ為出生率,β為疾病的感染率,平均潛伏期時間為1/θ,δ為因病死亡率,γ為每單位時間內(nèi)染病者個體的恢復(fù)率,Di(t)--1(i=1,…,4),布朗運(yùn)動Bi(t)(i=1,…,4)定義在完備的概率空間(Ω,F,P)上,這里{F}t0表示濾流,σi0(i=1,…,4)為Bi(t)(i=1,…,4)的強(qiáng)度.N(dt,dy)表示Possion測度,V(dy)dt為平穩(wěn)補(bǔ)償,v定義在可測子集A={y|y|r,r∈[0,∞)}上,且滿足v(A)∞.假設(shè)對于每個c0,存在L。0,使得在該假設(shè)條件下,得到模型(0.0.6)解的存在唯一性定理.定理0.0.8假設(shè)條件(H1)(H2)成立.則對于任意給定的初值(S(0),E(0),I(0),R(0))∈R+4,系統(tǒng)(0.0.6)存在唯一的正解(S(t),E(t),I(t),R(t))∈R+4,t≥0,且該解以概率1l位于R+4中.利用李雅普諾夫方法討論了隨機(jī)模型(0.0.6)在其對應(yīng)的確定性模型的無病平衡點和地方病平衡點處的漸近行為,得到如下結(jié)論：定理0.0.9假設(shè)條件(H1)和(H2)成立.如果R01,且滿足:那么,對于任給的初值(S(0),E(0),I(0),R(0))∈R+4,系統(tǒng)(0.0.6)的解(S(t),E(t),I(t),R(t))具有性質(zhì)：定理0.0.10假設(shè)條件(H1)(H2)成立.如果R01,且滿足.則對于任給的初值(S(0),E(0),I(0),R(0))∈R+4,系統(tǒng)(0.0.6)的解(S(t),E(t),I(t),R(t))具有性質(zhì)：第四章研究了一類Levy噪聲驅(qū)動的混雜隨機(jī)SIR模型其中S(t),I(t),R(t)分別代表易感染者,染病者和免疫者.參數(shù)A,β,μ,ε,γ均為正常數(shù),分別表示內(nèi)稟生長率,傳染率,自然死亡率,因病死亡率和痊愈率.Bi(t)是定義在完備概率空間(Ω,F,P)上的布朗運(yùn)動,流{Ft}t≥0滿足通常條其中,V(dy)dt是平穩(wěn)補(bǔ)償,v定義在可測集滿足v(dy)∞.為了證明模型(0.0.9)解的存在唯一性,我們對跳擴(kuò)散系數(shù)作如下假設(shè)：假設(shè)對每一n0,存在Ln0使得得到結(jié)論：定理0.0.11假設(shè)條件(A1)(A2)成立,對于任意給定的初值(S(0),I(0),R(0))∈R+3,系統(tǒng)(0.0.9)幾乎必然存在唯一的全局解當(dāng)系統(tǒng)(0.0.9)不受Levy噪聲影響時,對應(yīng)的混雜SIR模型的閾值為衡點通過利用Lyapunov函數(shù)、伊藤公式并結(jié)合Gronwall不等式,討論了模型(0.0.9)分別在無病平衡點E0和地方病平衡點Er*附近的漸近行為,得到結(jié)論如下：定理0.0.12如果Rr01,且滿足
【學(xué)位單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2015
【中圖分類】：O175
【文章目錄】：
中文摘要
Abstract
第一章 緒論
    1.1 研究背景及意義
        1.1.1 捕食-被捕食模型
        1.1.2 傳染病模型
    1.2 預(yù)備知識
        1.2.1 分?jǐn)?shù)階微分理論
        1.2.2 隨機(jī)過程
        1.2.3 Markov切換過程基本理論
第二章 分?jǐn)?shù)階生物學(xué)和傳染病學(xué)模型
    2.1 分?jǐn)?shù)階微分方程的李雅普諾夫定理
    2.2 分?jǐn)?shù)階捕食-被捕食系統(tǒng)
        2.2.1 解的存在唯一性
        2.2.2 平衡點的穩(wěn)定性
    2.3 分?jǐn)?shù)階SIR傳染病模型
        2.3.1 分?jǐn)?shù)階微分方程的通解
        2.3.2 解的存在唯一性
        2.3.3 平衡點的穩(wěn)定性
第三章 Levy噪聲驅(qū)動的具有飽和發(fā)生率的隨機(jī)SEIR模型
    3.1 引言
    3.2 正解的存在唯一性
    3.3 解的漸近行為
        3.3.1 無病平衡點處的漸近行為
        3.3.2 地方病平衡點處的漸近行為
第四章 Levy噪聲驅(qū)動的混雜隨機(jī)SIR模型
    4.1 引言
    4.2 正解的存在唯一性
    4.3 解的漸近行為
        4.3.1 無病平衡點處的漸近行為
        4.3.2 地方病平衡點處的漸近行為
參考文獻(xiàn)
作者簡介及在學(xué)期間所取得的科研成果
后記和致謝


本文編號：2851072