【摘要】：變分不等式和凸規(guī)劃問(wèn)題在數(shù)學(xué)、管理科學(xué)和工程科學(xué)的研究過(guò)程中起著非常重要的作用,并且這兩者具有非常緊密的聯(lián)系,即凸規(guī)劃的一階最優(yōu)性條件可以被變分不等式刻畫。隨著學(xué)科間的交叉研究增多,這兩類問(wèn)題被廣泛用來(lái)刻畫更多新領(lǐng)域中的問(wèn)題,例如圖像處理、統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)等。因此,研究如何設(shè)計(jì)有效的算法快速求解問(wèn)題就顯得十分重要。經(jīng)過(guò)幾代學(xué)者的共同努力,求解變分不等式和凸規(guī)劃問(wèn)題的算法已經(jīng)比較成熟,并且形成了一些系列,例如投影算法、增廣拉格朗日法、內(nèi)點(diǎn)法、鄰近點(diǎn)算法、算子分裂法。這些算法在經(jīng)濟(jì)均衡、圖像處理、統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)、矩陣優(yōu)化等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。目前,隨著信息科學(xué)的發(fā)展,研究具有特殊結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的模型已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。這些問(wèn)題具有大規(guī)模、目標(biāo)函數(shù)分離和約束線性等特點(diǎn),并且廣泛的應(yīng)用于信息傳輸和數(shù)據(jù)處理。本文是基于這些特征來(lái)設(shè)計(jì)有效的算法。本文主要研究求解變分不等式投影方法和求解線性約束分離優(yōu)化問(wèn)題的算子分裂法。全文分為七章,具體內(nèi)容如下:第一章,首先介紹求解變分不等式問(wèn)題的投影算法的研究現(xiàn)狀。然后介紹了求解包含多態(tài)和凸優(yōu)化問(wèn)題的鄰近點(diǎn)算法和算子分類法的研究概況。最后,簡(jiǎn)要闡述本文的研究動(dòng)機(jī)和主要工作。第二章,介紹了本文算法分析中所涉及的一些符號(hào)、定義、概念和性質(zhì),以及評(píng)價(jià)算法好壞的標(biāo)準(zhǔn)。第三章,研究求解一類結(jié)構(gòu)變分不等式問(wèn)題的并行方法。以投影方法為主要框架構(gòu)造并行方法和不精確準(zhǔn)則,證明了算法的全局收斂率和遍歷意義下的收斂率。最后數(shù)值實(shí)驗(yàn)展示帶新不精確準(zhǔn)則的算法是有效的和穩(wěn)定的,適合求解結(jié)構(gòu)變分不等式。第四章,研究求解具有特殊結(jié)構(gòu)的變分不等式問(wèn)題的算子分裂法的收斂率。本章是利用變分不等式中映射的單調(diào)性,建立算子分裂法的收斂率。第五章,研究求解線性約束分離凸優(yōu)化問(wèn)題的并行方法。首先利用問(wèn)題的分離結(jié)構(gòu)和增廣拉格朗日方法,構(gòu)造出并行算法。最后證明算法的全局收斂性和,同時(shí)建立算法的遍歷意義下和非遍歷意義下算法的收斂率。最后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明并行算法是有效的,適合求解線性約束分離凸優(yōu)化問(wèn)題。第六章,研究求解線性約束分離凸優(yōu)化問(wèn)題的一種Douglas-Rachoford算子分裂法。針對(duì)經(jīng)典的Peaceman-Rachoford和Douglas-Rachoford算子分裂法在求解某類凸優(yōu)化題時(shí),只有一個(gè)子問(wèn)題沒(méi)有閉型式的解的情況,利用子問(wèn)題的結(jié)構(gòu),提出全分解型的Douglas-Rachoford算子分裂法。然后利用函數(shù)的凸性建立了算法的全局收斂性和非遍歷意義下收斂率。本章的算法充分利用了問(wèn)題的分離結(jié)構(gòu),使得每個(gè)迭代子問(wèn)題都有閉型式的解。最后數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,算法是有效的和有競(jìng)爭(zhēng)力的,適合求解分離凸優(yōu)化問(wèn)題。第七章,簡(jiǎn)單總結(jié)本文的主要研究?jī)?nèi)容,并提出了一些準(zhǔn)備思考的問(wèn)題。
【學(xué)位授予單位】：重慶大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O224;O178

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本文編號(hào)：2773934