【摘要】：本文主要研究與孤子方程相關(guān)的Lie-Poisson Hamilton系統(tǒng)的兩方面內(nèi)容:第一,討論與一個孤子方程相關(guān)的Lie-Poisson Hamilton系統(tǒng)之間的關(guān)系.其一,與一個孤子方程相聯(lián)系的標(biāo)準(zhǔn)辛結(jié)構(gòu)下有限維可積系統(tǒng)是Lie-Poisson框架下有限維可積系統(tǒng)幾種不同的辛實現(xiàn)形式.其二,一個孤子方程對應(yīng)一種約束Hamilton系統(tǒng),它就是由Bargmann約束產(chǎn)生的Hamilton系統(tǒng),其它約束系統(tǒng)(Neumann約束,高階約束)是Bargmann約束系統(tǒng)不同維數(shù)的體現(xiàn).第二,處理由與Lie代數(shù)gl(3)及其子代數(shù)對應(yīng)的3×3 Lax矩陣產(chǎn)生的與孤子方程相關(guān)的有限維可積系統(tǒng),包括與Boussinesq方程相關(guān)的Lie-Poisson Hamilton系統(tǒng)以及幾種Gaudin模型對解三波方程,耦合非線性Schr¨odinger方程的應(yīng)用.并證明這些系統(tǒng)的Liouville可積性.進一步,在Casimir函數(shù)的公共水平集上構(gòu)造可分離變量,利用Hmailton-Jacobi理論引入作用-角變量得到Lie-Poisson Hamilton系統(tǒng)以及與其相聯(lián)系的這些孤子方程的Jacobi反演問題.本文可以概括為以下幾方面:I.利用Poisson結(jié)構(gòu)和余伴隨表示理論,研究Lie-Poisson框架下和標(biāo)準(zhǔn)辛結(jié)構(gòu)下有限維可積系統(tǒng)的關(guān)系:標(biāo)準(zhǔn)辛結(jié)構(gòu)下有限維可積系統(tǒng)是Lie-Poisson框架下有限維可積系統(tǒng)幾種不同的辛實現(xiàn)形式.II.通過位勢與特征函數(shù)之間不同的約束形式分別產(chǎn)生Neumann系統(tǒng),Bargmann系統(tǒng)(兩者皆是顯式約束),高階約束流系統(tǒng)(隱式約束)這幾種有限維可積系統(tǒng),我們將在Lie-Poisson框架下研究這些在不同約束形式下產(chǎn)生的有限維可積系統(tǒng)之間的關(guān)系.在Lie-Poisson結(jié)構(gòu)下,一個孤子方程對應(yīng)的只有一種約束Hamilton系統(tǒng),這個系統(tǒng)就是Bargmann約束產(chǎn)生的Hamilton系統(tǒng),其它形式的約束系統(tǒng)是Bargmann約束系統(tǒng)不同維數(shù)的體現(xiàn).本文分別以與非線性Schr¨odinger方程以及與Boussinesq方程族相關(guān)的Lie-Poisson Hamilton系統(tǒng)為例進行闡述.III.Boussinesq方程是一個著名的與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系的孤子方程,本文建立了兩個與Boussinesq方程相聯(lián)系的Lie-Poisson Hamilton系統(tǒng).并在Casimir函數(shù)的公共水平集上構(gòu)造可分離變量,利用Hmailton-Jacobi理論引入作用-角變量,從而得到Lie-Poisson Hamilton系統(tǒng)以及與Boussinesq方程相關(guān)的Jacobi反演問題.IV.從與Lie代數(shù)gl(3)相關(guān)的3×3 Lax矩陣出發(fā),討論它對應(yīng)的Gaudin模型,以及這些Gaudin模型對解三波方程,耦合非線性Schr¨odinger方程的應(yīng)用.進一步考慮在Lie代數(shù)gl(3)的子代數(shù)su(3),su(1,2)上對應(yīng)的Gaudin模型對解三波方程,耦合非線性Schr¨odinger方程的應(yīng)用.最后,分別給出與三波方程,耦合非線性Schr¨odinger方程相關(guān)的Jacobi反演問題.
【學(xué)位授予單位】：鄭州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175

【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前3條

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2 莊大蔚,錢敏;表示論與Toda鏈的τ-函數(shù)解結(jié)構(gòu)[J];數(shù)學(xué)進展;1991年04期

3 曾云波，李翊神;從無窮維可積Hamilton系統(tǒng)到有限維可積Hamilton系統(tǒng)的一個一般途徑[J];數(shù)學(xué)進展;1995年02期

本文編號：2772970