本文關(guān)鍵詞：兩類流體問(wèn)題的數(shù)學(xué)和數(shù)值分析，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：1973年,一篇題為解定常Stokes方程的協(xié)調(diào)和非協(xié)調(diào)元有限元方法的論文[23]中首次提到了Crouzeix-Raviart (C-R)有限元.這是一個(gè)定義在三角形/四面體上的P1有限元,自由度由形函數(shù)在剖分單元邊或面上的中點(diǎn)處的取值構(gòu)成.對(duì)計(jì)算的區(qū)域進(jìn)行三角剖分,因此這種有限元的有限元空間中的函數(shù)在邊的中點(diǎn)或面的中心是連續(xù)的,這也意味著此有限元空間并不是Sobolev空間H1(Ω)的子空間,而H1(Ω)空間是二階橢圓邊值問(wèn)題的弱解空間.因此與自由度在剖分單元頂點(diǎn)上定義的協(xié)調(diào)P1有限元或Courant有限元[22]相比,C-R有限元經(jīng)常被稱作非協(xié)調(diào)有限元.在工程領(lǐng)域被稱作Loof有限元[52].但是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域人們是通過(guò)Crouzeix和Raviart (1973)寫(xiě)的那篇文章才開(kāi)始深入了解C-R有限元.若想更加深入地了解C-R有限元,可以參考文獻(xiàn)[16,17].本文中我們圍繞著兩種流體問(wèn)題的數(shù)學(xué)和數(shù)值分析展開(kāi),流體速度都用的C-R有限元離散,壓力用分片常數(shù)離散.第一類問(wèn)題是不可壓縮流體或微可壓縮流體的Darcy-Forchheimer模型.另一種模型是自由流體、多孔介質(zhì)流體和質(zhì)量傳遞方程組成的耦合系統(tǒng).多孔介質(zhì)中流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型廣泛應(yīng)用于地下水、環(huán)境科學(xué)和油藏開(kāi)發(fā)過(guò)程中的油水的運(yùn)移等領(lǐng)域[5,7,63].該模型主要基于流體的質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒律.工程上一般比較關(guān)心壓力、速度、溫度和濃度等物理量,而關(guān)于地質(zhì)、流體描述的許多參數(shù)例如重力、黏度、壓縮系數(shù)、密度、孔隙度、滲透率、相對(duì)滲透率等對(duì)物理過(guò)程都起著重要作用,因此模型中圍繞著以上物理量并且遵循以上各種守恒律引入了這些參數(shù).由于介質(zhì)的非均質(zhì)性、各向異性導(dǎo)致引入的參數(shù)會(huì)劇烈地變化,因此許多物理量都是在平均意義下的,引入的模型及其相應(yīng)的近似形式都有一定的適用范圍.基于一些合理的假設(shè),流體流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型可以簡(jiǎn)化,但仍表現(xiàn)為依賴于時(shí)間的強(qiáng)耦合非線性偏微分方程組.由于該微分方程組結(jié)構(gòu)復(fù)雜,只在特定情況下才有解析解存在,因此提出能夠保持系統(tǒng)物理性質(zhì)的高精度的、有效的數(shù)值格式成為科學(xué)與工程中的迫切需求.Darcy定律描述了Newton流體壓力梯度和速度呈現(xiàn)線性關(guān)系,已由多年的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證實(shí).這個(gè)線性關(guān)系只在合理的物理假設(shè)條件下才成立,例如流體流動(dòng)地很緩慢,所有的慣性項(xiàng)可以忽略時(shí)[5]. Darcy定律的理論推導(dǎo)可以參考[58,78], Darcy流體對(duì)于油氣采收和預(yù)防地下水污染有著重要意義.Forchheimer(1901)[37]在沙包中做流體實(shí)驗(yàn)時(shí)觀察到當(dāng)Reynolds數(shù)比較大(大約Re1)時(shí),Darcy定律不再充分成立且會(huì)出現(xiàn)壓力梯度和速度間的非線性關(guān)系.實(shí)際上,他通過(guò)對(duì)一大組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn),這個(gè)非線性關(guān)系是二次的[5].雖然目前還存在著對(duì)Darcy-Forchheimer方程泛函性的爭(zhēng)議[6],但是非線性性已經(jīng)從實(shí)驗(yàn)上、數(shù)值上[46]和理論上[55,69]被證實(shí).Darcy-Forchheimer方程仍被用為模擬多孔介質(zhì)中的高速流體的流動(dòng),尤其是在天然氣井附近[3]. Forchheimer模型的推導(dǎo)可以參考[2,18,39,48,69,78],Forchheimer模型數(shù)學(xué)理論研究可以參考[4,47,33,74], Forchheimer方程是單調(diào)非線性非退化的,類似的問(wèn)題有p-Laplacian問(wèn)題、擬Newtonian流和Ladyzhenskaya流體問(wèn)題,處理這一類單調(diào)非線性算子的技巧和方法可以參考[30,31,34,35,44,72].近年來(lái),Darcy-Forchheimer模型的數(shù)值離散方法已有一些,[43,53]中引入了primal非協(xié)調(diào)混合有限元方法,[71]中給出了協(xié)調(diào)混合有限元方法,這種方法使得我們構(gòu)造的迭代格式中有限元系數(shù)矩陣更加稀疏,從而節(jié)省了內(nèi)存空間和CPU運(yùn)行時(shí)間Park [62]提出了微可壓縮流體Darcy-Forchheimer模型的對(duì)偶混合元方法Girault和Wheeler [43]驗(yàn)證了Darcy-Forchheimer問(wèn)題弱解的存在唯一性.他們提出一種primal混合元離散格式：速度用分片常數(shù)元離散、壓力使用不連續(xù)的C-R線性元離散(參考[23]).他們提出了交替方向迭代算法來(lái)解非線性方程,并對(duì)迭代算法和有限元格式的收斂性都給予證明Lopez等[53]使用[43]中給出的格式進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn).對(duì)離散后的非線性方程組提出了Newton迭代方法并與[43]中的交替方向算法對(duì)比.進(jìn)一步,在[53]中也提出了另外一種有限元,這種有限元使得對(duì)壓力的近似更加光滑,壓力使用連續(xù)的P1 Lagrange有限元逼近,速度還是用不連續(xù)的分片常數(shù)元近似Salas等[71]對(duì)這種數(shù)值方法給出了詳細(xì)的理論研究并提出了另外兩種數(shù)值方法：兩種方法中壓力還是用連續(xù)的P1 La-grange有限元逼近,速度的近似空間變成一次多項(xiàng)式,一種是速度用連續(xù)的P1 Lagrange有限元離散,另一種方法速度用不連續(xù)的C-R線性元離散.但是提出的這兩種新方法到目前為止還沒(méi)給出數(shù)學(xué)和數(shù)值研究.本文目標(biāo)之一在于提出不可壓縮質(zhì)量守恒方程與Darcy-Forchheimer方程耦合問(wèn)題的一種新的對(duì)偶離散格式.速度和壓力分別由不連續(xù)的C-R元和分片常數(shù)元離散,這種混合元經(jīng)常用來(lái)處理Darcy-Stokes模型.在這種情形下,消去速度,該模型表現(xiàn)為壓力的二階橢圓方程.進(jìn)一步地,假設(shè)流體微可壓縮,我們對(duì)微可壓縮質(zhì)量守恒方程與Darcy-Forchheimer方程耦合問(wèn)題使用相同的離散格式,此時(shí)消去速度,模型表現(xiàn)為壓力的拋物方程.到目前為止,已經(jīng)有很多關(guān)于耦合的自由流和多孔介質(zhì)流問(wèn)題的文獻(xiàn).這類耦合問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是由自由流體區(qū)域的Stokes方程,多孔介質(zhì)區(qū)域的Darcy方程再加上一些合適的界面條件組成.這些界面條件包括Beavers-Joseph-Saffman條件[8,70],通量連續(xù)條件,力的平衡條件.這個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)和數(shù)值分析方面也很具有挑戰(zhàn)性：兩區(qū)域內(nèi)方程的解具有不同的正則性,交界面上流體的切向速度不連續(xù),變分形式中積分項(xiàng)在交界面上要比在區(qū)域內(nèi)部少一維,要保證不降低解的正則性和收斂階難度不小.對(duì)于這個(gè)模型,已有不少文獻(xiàn)[24,38,51,54,66]提出了穩(wěn)定的和收斂的數(shù)值格式.當(dāng)今社會(huì)面臨的一個(gè)很嚴(yán)重的問(wèn)題就是由地下儲(chǔ)藏設(shè)備泄漏、化學(xué)藥品泄漏還有各種人類活動(dòng)導(dǎo)致的地表水和地下水污染.由Stokes方程、Darcy方程和質(zhì)量傳遞方程組成的耦合系統(tǒng)可以用來(lái)描述水中泄漏的污染物的傳播并且評(píng)估污染風(fēng)險(xiǎn).這個(gè)模型僅在[76]中給出系統(tǒng)的研究,其中流體的粘性系數(shù)假設(shè)與溶質(zhì)的濃度無(wú)關(guān),這樣的假設(shè)實(shí)際已經(jīng)解耦了流動(dòng)方程和濃度方程.我們接下來(lái)研究的就是二維區(qū)域上由耦合的Darcy-Stokes方程和對(duì)流擴(kuò)散方程組成的系統(tǒng),其中對(duì)流擴(kuò)散方程可以用來(lái)模擬流體中溶質(zhì)的運(yùn)動(dòng),并且此時(shí)流體的粘性系數(shù)是依賴于溶質(zhì)的濃度.這個(gè)耦合問(wèn)題實(shí)際含有兩層耦合含義：一是兩區(qū)域間的耦合,在不同的區(qū)域上有不同的流動(dòng)方程、不同的擴(kuò)散系數(shù)和不同的源匯項(xiàng),只在交界面上進(jìn)行物理量的傳遞；二是流動(dòng)方程和質(zhì)量傳遞方程之間的耦合,通過(guò)流速和濃度彼此相互影響.因此這雙重耦合會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)異常復(fù)雜.對(duì)兩個(gè)區(qū)域上的方程都用混合形式離散的數(shù)值算法又可分為兩類：一類是在不同區(qū)域用不同的有限元離散；另一種是在兩區(qū)域使用相同的有限元離散.使用同一有限元的優(yōu)勢(shì)在于不論是在理論分析還是在程序?qū)崿F(xiàn)中處理交界面條件更加方便,同時(shí)也使得編寫(xiě)程序代碼時(shí)可以較少考慮單元所在區(qū)域,從而編寫(xiě)效率更高.我們也用同一元的思想對(duì)這個(gè)系統(tǒng)提出了一種穩(wěn)定化混合元方法.在整個(gè)Stokes和Darcy區(qū)域?qū)α鲌?chǎng)壓力和速度分別采用分片常數(shù)和C-R有限元空間來(lái)逼近.這里使用C-R元是因?yàn)樗哂信c分片常數(shù)壓力組合易于滿足inf-sup條件、能保持分片單元質(zhì)量守恒、二維和三維情形都容易實(shí)現(xiàn)等好處.然而,Mardal等人[54]指出對(duì)Darcy方程使用C-R元時(shí)離散格式并不收斂.眾所周知,C-R元不滿足離散的Korn's不等式,因此Hansbo和Larson [45]通過(guò)使用一個(gè)罰項(xiàng)[16]加罰速度在單元邊界上的跳躍來(lái)滿足離散的Korn's不等式.對(duì)于質(zhì)量傳遞方程中濃度的離散,我們使用經(jīng)典的Lagrange有限元.單獨(dú)區(qū)域內(nèi)(特別是滲流區(qū))的耦合流動(dòng)和傳質(zhì)問(wèn)題的工作,也就是多孔介質(zhì)區(qū)域內(nèi)混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題已有很多文獻(xiàn)[9,73,49,36,19,27,28,68,20,47,32,29].本文的組織結(jié)構(gòu)如下：在第一章中,我們簡(jiǎn)要地介紹了多孔介質(zhì)中Darcy-Forchheimer律的數(shù)學(xué)模型,基于流體的物理特性給出質(zhì)量守恒方程,并根據(jù)組分質(zhì)量守恒推導(dǎo)出多孔介質(zhì)流體中流體濃度的對(duì)流擴(kuò)散方程.接著介紹了本文中常用的一些符號(hào),包括函數(shù)空間及其范數(shù)定義,并給出后面章節(jié)理論推導(dǎo)過(guò)程中常用的幾個(gè)引理.在第二章中,我們提出了穩(wěn)定的對(duì)偶混合有限元格式來(lái)離散不可壓縮Darcy-Forchheimer流體方程.速度和壓力分別由非協(xié)調(diào)的Crouzeix-Raviart有限元和分片常數(shù)元近似.我們驗(yàn)證了inf-sup條件并由這個(gè)條件成立和非線性算子的單調(diào)、強(qiáng)制、半連續(xù)性證明了離散解的存在唯一性.給出了速度L2和L3范數(shù),壓力L2范數(shù)的先驗(yàn)誤差估計(jì).最后我們用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性,并對(duì)[59]中提出的數(shù)值格式和我們提出的格式做了數(shù)值比較,從某些方面說(shuō)明我們的方法具有優(yōu)越性.在第三章中,我們使用了跟第二章相同的穩(wěn)定的對(duì)偶混合有限元格式來(lái)離散微可壓縮Darcy-Forchheimer流體方程.通過(guò)引入Darcy-Forchheimer速度和壓力的投影來(lái)推導(dǎo)出半離散數(shù)值格式和全離散數(shù)值格式的先驗(yàn)誤差估計(jì).在第四章中,我們考慮了一個(gè)由Stokes方程、Darcy方程以及質(zhì)量傳遞方程組成的耦合系統(tǒng),這個(gè)系統(tǒng)用來(lái)描述帶傳質(zhì)過(guò)程的自由流和多孔介質(zhì)流耦合問(wèn)題模型,系統(tǒng)中流體的粘性系數(shù)是與濃度相關(guān)的.我們給出一種全離散有限元格式,從而把流體流動(dòng)方程和濃度方程分離開(kāi)來(lái).在整個(gè)區(qū)域?qū)λ俣群蛪毫Ψ謩e使用Crouzeix-Raviart有限元和分片常數(shù)元近似并給出一個(gè)類似于[16]中的穩(wěn)定項(xiàng)加罰速度在單元邊界上的跳躍,對(duì)于濃度方程,我們用協(xié)調(diào)的Lagrange有限元來(lái)離散.通過(guò)對(duì)方程弱解做一些合理的正則性假設(shè),我們給出了離散格式速度、壓力和濃度的先驗(yàn)誤差估計(jì).
【關(guān)鍵詞】：Darcy-Forchheimer方程 Stokes和Darcy方程 Crouzeix-Raviart元 流動(dòng)和遷移 存在性 誤差估計(jì)
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 中文摘要10-15
• 英文摘要15-22
• 第一章 預(yù)備知識(shí)22-30
• 1.1 Darcy-Forchheimer模型22-23
• 1.2 質(zhì)量守恒定律23-26
• 1.3 基本符號(hào)和引理26-30
• 第二章 不可壓縮Darcy-Forchheimer流模型的穩(wěn)定Crouzeix-Raviart元方法30-54
• 2.1 引言30-32
• 2.2 弱形式32-34
• 2.3 有限元離散34-38
• 2.4 誤差估計(jì)38-41
• 2.5 數(shù)值算例41-54
• 第三章 微可壓縮Darcy-Forchheimer流模型的穩(wěn)定Crouzeix-Raviart元方法54-64
• 3.1 引言54-55
• 3.2 半離散有限元格式及誤差分析55-57
• 3.3 全離散有限元格式及誤差分析57-59
• 3.4 數(shù)值算例59-64
• 第四章 耦合自由流和多孔介質(zhì)流的傳質(zhì)過(guò)程的穩(wěn)定非協(xié)調(diào)有限元方法64-84
• 4.1 引言64-67
• 4.2 弱形式67-69
• 4.3 有限元離散69-74
• 4.4 誤差估計(jì)74-84
• 參考文獻(xiàn)84-92
• 致謝92-94
• 攻讀博士學(xué)位期間完成論文情況94-96
• 作者簡(jiǎn)介96-97
• 附件97

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