本文關(guān)鍵詞：實(shí)數(shù)的唯一展式與β-動(dòng)力系統(tǒng)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：本文主要討論了實(shí)數(shù)的唯一集的大小,β-動(dòng)力系統(tǒng)中的非齊次丟番圖逼近問題,以及實(shí)數(shù)在不同的β-動(dòng)力系統(tǒng)中的軌道的丟番圖性質(zhì).我們計(jì)算了相關(guān)分形集的Lebesgue測(cè)度及Hausdorff維數(shù).本文分為六章：在第一章中,我們介紹一下分形幾何的歷史以及相關(guān)問題的背景.第二章則主要用來給出Hausdorff維數(shù)的定義、性質(zhì),以及各問題所需的預(yù)備知識(shí).然后,我們?cè)诮酉聛淼娜齻�(gè)章節(jié)中,分別對(duì)上述三個(gè)方面的內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)地討論. 在第三章中,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x∈[0,1],我們考慮了其唯一集,也就是位于區(qū)間(1,2)中的使得x關(guān)于其展式唯一的那些基β1所構(gòu)成的集合.我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于所有的x∈(0,1]都有：(1)數(shù)字2是其唯一集的聚點(diǎn)；(2)其唯一集都是Lebesgue零測(cè)集;(3)其唯一集的Hausdorff維數(shù)都是1.進(jìn)一步地,結(jié)合de Vries及Komornik[1]的結(jié)果,我們可以得到對(duì)于任意的x∈(0,1],其唯一集及唯一集的閉包都是無處稠密的. 在第四章中,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)β1,我們考慮了β-動(dòng)力系統(tǒng)中的非其次丟番圖逼近問題.具體地說,對(duì)于給定的正函數(shù)φ：N→R+,我們計(jì)算了集合 Eβ(φ)={(x,y)∈[0,1]×[0,1]:|Tβmx-y|φ(n)對(duì)無窮多個(gè)n∈N成立}的Lebesgue測(cè)度及Hausdorff維數(shù),并得到如下結(jié)果：(1)集合Eβ(φ)的Lebesgue測(cè)度滿足0-1律,即當(dāng)級(jí)數(shù)∑φ(n)收斂時(shí),其二維Lebesgue測(cè)度為0；而當(dāng)級(jí)數(shù)∑φ(n)發(fā)散時(shí),其二維Lebesgue測(cè)度為1.(2)集合Eβ(φ)的Hausdorff維數(shù)為1/(1+α),其咋 在第五章中,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x∈(0,1],我們考慮了那些使得x在β-變換下的軌道具有較好的逼近性質(zhì)的β1所構(gòu)成的集合.具體地說,對(duì)于給定的實(shí)數(shù)序列{x。}及正函數(shù)φ：N→R+,借助于質(zhì)量轉(zhuǎn)移原理,我們證明了集合Ex({xn},φ)={β1:|Tβmx-xn|φ(n)對(duì)無窮多個(gè)n∈N成立}.的Hausdorff維數(shù)滿足0-1律,即當(dāng)時(shí),其Hausdorff維數(shù)為0;否則,其Hausdorff維數(shù)為1.利用同樣的方法,我們推廣了Persson和Schmeling[2]及Li等的結(jié)果. 在最后的第六章中,我們先總結(jié)了本文的主要結(jié)果,然后,又針對(duì)每一個(gè)結(jié)果提出了進(jìn)一步研究時(shí)可以考慮的問題.
【關(guān)鍵詞】：Hausdorff維數(shù) Lebesgue測(cè)度 唯一集 β-動(dòng)力系統(tǒng) 非齊次丟 番圖逼近 質(zhì)量轉(zhuǎn)移原理
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175
【目錄】：

• 摘要4-6
• Abstract6-10
• 1 緒言10-21
• 1.1 分形幾何10-13
• 1.2 實(shí)數(shù)的唯一展式13-16
• 1.3 丟番圖逼近16-18
• 1.4 β-動(dòng)力系統(tǒng)18-21
• 2 預(yù)備知識(shí)21-31
• 2.1 Hausdorff測(cè)度及Hausdorff維數(shù)21-24
• 2.2 實(shí)數(shù)的展式24-28
• 2.3 β-展式與β-動(dòng)力系統(tǒng)28-31
• 3 實(shí)數(shù)的唯一集31-45
• 3.1 基本事實(shí)32-33
• 3.2 唯一集的Lebesgue測(cè)度33-38
• 3.3 唯一集中遞增到2的序列38-42
• 3.4 唯一集的Hausdorff維數(shù)42-45
• 4 β-動(dòng)力系統(tǒng)中的非齊次丟番圖逼近45-51
• 4.1 β-展式的性質(zhì)46-47
• 4.2 非齊次丟番圖逼近47-51
• 5 β-動(dòng)力系統(tǒng)中的丟番圖分析與Hausdorff維數(shù)51-68
• 5.1 β-展式的基本事實(shí)51-53
• 5.2 參數(shù)空間53-60
• 5.3 完全詞60-63
• 5.4 主要結(jié)果的證明63-66
• 5.5 進(jìn)一步討論66-68
• 6 結(jié)論68-72
• 6.1 實(shí)數(shù)的唯一集68-69
• 6.2 β-動(dòng)力系統(tǒng)中的丟番圖逼近：?jiǎn)蝹�(gè)系統(tǒng)69-70
• 6.3 β-動(dòng)力系統(tǒng)中的丟番圖逼近：不同系統(tǒng)70-72
• 致謝72-73
• 參考文獻(xiàn)73-78
• 附錄1 攻讀學(xué)位期間發(fā)表論文目錄78-79
• 附錄2 攻讀博士學(xué)位期間參與的科研項(xiàng)目79

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本文編號(hào)：260433