本文關(guān)鍵詞：玻色—愛因斯坦凝聚中的約束極小問題研究，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：本文主要研究R2中一類描述玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation,簡記作：BEC)的能量泛函在L2范數(shù)下的約束極小問題.其中包括在粒子間相互吸引作用下的玻色-愛因斯坦凝聚的平均場近似,在粒子間相互非齊次吸引作用下的玻色-愛因斯坦凝聚中出現(xiàn)的坍塌和集中現(xiàn)象,以及非齊次質(zhì)量臨界薛定諤方程基態(tài)解的唯一性與極限行為.本文共分四章：在第一章中,我們概述本文所研究問題的背景以及國內(nèi)外研究現(xiàn)狀,并簡要介紹本文的主要工作以及相關(guān)的預(yù)備知識和一些記號.在第二章中,我們首先研究R2中一個多體薛定諤哈密頓系統(tǒng),證明了在平均場理論的框架下,當(dāng)粒子數(shù)N→∞,但是散射長度κ→0時,R2中在粒子間吸引作用下的玻色氣體的基態(tài)能量會逼近于相關(guān)的Gross-Pitaevskii能量泛函的極小值.通過固定N|k|,就導(dǎo)出了R2中在粒子間吸引作用下的玻色-愛因斯坦凝聚的一個平均場近似.在第三章中,我們考慮R2中在粒子間相互非齊次吸引作用m(z)下的玻色-愛因斯坦凝聚,其在平均場理論的框架下可以通過Gross-Pitaevskii能量泛函描述.我們證明了極小可達元存在當(dāng)且僅當(dāng)吸引作用力a滿足aa*=||Q||22其中Q是R2中方程△u-u+u3=0唯一的徑向?qū)ΨQ正解.于此同時,我們同樣分析了當(dāng)a趨近于a*時極小可達元的集中行為以及對稱破缺現(xiàn)象.我們發(fā)現(xiàn)如果位勢函數(shù)的全局極小值點x0恰好也是m(x)的一個全局極大值點,那么當(dāng)a趨近于a*時極小可達元全部質(zhì)量會集中在x0處.在第四章中,我們通過分析相關(guān)的L2約束下的Gross-Pitaevskii能量泛函來研究一類帶非齊次項質(zhì)量臨界的薛定諤方程的基態(tài)正解.與齊次情形,即m(x)三1,不同的是,我們證明了當(dāng)參數(shù)a達到臨界門檻值a*時,基態(tài)解的存在性與非存在性都有可能發(fā)生,這完全依賴于非齊次項m(x).另外對m(x)和位勢函數(shù)V(x)加上適當(dāng)條件,我們還分析了對幾乎處處的a∈[0,a*)基態(tài)解的唯一性和徑向?qū)ΨQ性.最后若位勢函數(shù)V(x)的全局極小值在一個非空區(qū)域內(nèi)達到,并且m(x)在此區(qū)域內(nèi)達到全局極大值,且在極大值點附近足夠平坦,則當(dāng)參數(shù)a達到臨界門檻值a*時,方程不會存在基態(tài)解.然后我們將分析當(dāng)a(?)a*時,基態(tài)解的極限行為,即基態(tài)解的全部質(zhì)量會集中在m(x)的一個最平坦的全局極大值點處.
【關(guān)鍵詞】：玻色-愛因斯坦凝聚 相互吸引作用 平均場近似 集中 坍塌 對稱破缺 基態(tài)解 唯一性
【學(xué)位授予單位】：華中師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O469
【目錄】：

• 內(nèi)容摘要5-7
• Abstract7-11
• 第一章 緒論11-28
• 1.1 問題的背景及研究現(xiàn)狀11-18
• 1.2 本文的記號18
• 1.3 預(yù)備知識18-20
• 1.3.1 Gagliardo-Nirenberg不等式18-19
• 1.3.2 嵌入引理19
• 1.3.3 幾個橢圓型偏微分方程正則性引理19-20
• 1.4 本文的主要工作20-26
• 1.5 結(jié)構(gòu)安排26-28
• 第二章 R~2中在粒子間相互吸引作用下的玻色-愛因斯坦凝聚的平均場近似28-35
• 2.1 問題的提出及其主要結(jié)果28-30
• 2.2 定理2.1.1的證明30-35
• 第三章 關(guān)于在粒子間相互非齊次吸引作用下的玻色-愛因斯坦凝聚中出現(xiàn)的坍塌和集中現(xiàn)象的研究35-57
• 3.1 問題的提出及其主要結(jié)果35-39
• 3.2 極小可達元的存在性與唯一性39-44
• 3.3 最優(yōu)能量估計44-50
• 3.4 集中與徑向破缺50-57
• 第四章 非齊次質(zhì)量臨界薛定諤方程基態(tài)解的唯一性與極限行為57-84
• 4.1 問題的提出及其主要結(jié)果57-62
• 4.2 極小可達元的存在性與唯一性62-72
• 4.2.1 參數(shù)臨界門檻值處極小可達元的存在性62-68
• 4.2.2 極小可達元的唯一性68-72
• 4.3 極小可達元的爆破分析72-84
• 4.3.1 最優(yōu)能量估計72-78
• 4.3.2 定理4.1.5的證明78-84
• 參考文獻84-93
• 研究生期間已發(fā)表和待發(fā)表的論文93-94
• 致謝94-95

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1 楊松

本文編號：259747