本文關(guān)鍵詞：凱勒流形上帶有錐奇性的凱勒—里奇流，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：凱勒-里奇流(Kahler-Ricci flow)是幾何分析和偏微分方程研究中的一個(gè)重要課題。自從上世紀(jì)八十年代由H.D. Cao在文獻(xiàn)中引入之后,經(jīng)過H.D. Cao, A. Chau, X.X. Chen, G. Perelman, D. Phong, W.X. Shi, J. Song, J. Sturm, G. Tian, B. Weinkove以及X.H. Zhu等人的不斷研究完善,凱勒-里奇流已經(jīng)發(fā)展為一個(gè)獨(dú)立的廣闊領(lǐng)域,并且滲入到幾何研究中的許多不同方面,例如凱勒-愛因斯坦度量的存在性問題,凱勒流形的分類問題以及非凱勒情形下某些幾何流的存在性問題等。凱勒-里奇流對(duì)這些問題的研究和解決起著重要的推動(dòng)作用。 在本文中,我們對(duì)一類帶有奇性的凱勒-里奇流——錐奇性凱勒-里奇流(conical Kahler-Ricci flow)進(jìn)行針對(duì)性研究。我們將主要討論其長(zhǎng)時(shí)間解的存在性及收斂性問題。對(duì)于光滑的凱勒-里奇流,上述問題已經(jīng)有了比較完善的研究。但對(duì)于帶有錐奇性的凱勒-里奇流,這方面的相關(guān)研究則剛剛展開。在對(duì)帶有錐奇性凱勒-里奇流的研究過程中,我們將把它與撓動(dòng)凱勒-里奇流(twisted Kahler-Ricci flow)結(jié)合起來(lái)討論。首先,利用撓動(dòng)凱勒-里奇流光滑逼近的方法,我們得到了錐奇性凱勒-里奇流長(zhǎng)時(shí)間解的存在性。之后,通過對(duì)光滑凱勒-里奇流情形下Perelman估計(jì)進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn),我們得到了沿一列撓動(dòng)凱勒-里奇流的一致Perelman估計(jì)。最后,在這些結(jié)果的基礎(chǔ)上,我們討論了法諾流形(Fano manifold)上錐奇性凱勒-里奇流的收斂性,得到了下述主要定理： 定理0.1.設(shè)M為一個(gè)復(fù)維數(shù)為n的法諾流形,ω0是第一陳類(the first Chern class)2nc1(M)中的一個(gè)光滑凱勒度量,h是反典范叢(anti-canonical bundle)-KM上曲率為ω0的光滑埃爾米特度量(Hermitian metric), D∈|-KM|為流形M上的一個(gè)光滑除子(smooth divisor),s為除子D的定義截面(defining section)。對(duì)任意β∈(0,1),錐奇性的凱勒-里奇流存在唯一的長(zhǎng)時(shí)間解ω(t)。 更進(jìn)一步,如果存在一個(gè)沿除子D錐角為2πβ口的錐奇性凱勒-愛因斯坦度量(conical Kahler-Einstein metric) ωβ,D,那么ω(t)沿錐奇性凱勒-里奇流(1)一定收斂到度量ωβ,D。這個(gè)收斂性在除子D之外是局部的光滑收斂,在流形M整體上是流動(dòng)形(currents)意義下收斂。 由前面介紹可知,定理0.1的證明會(huì)依賴相關(guān)的正則性理論以及一致的Perelman估計(jì)等重要結(jié)果。在本文中,我們將會(huì)對(duì)這些理論給予討論。下面,我們把文章中所涉及的重要結(jié)果列舉如下。 一般地,對(duì)方程而言,研究其解的整體高階正則性估計(jì)是非常重要的。但是如果解的整體高階正則性估計(jì)并不能滿足研究的需要,進(jìn)而考慮其局部的高階正則性也是非常有意義的。這里,根據(jù)后文中關(guān)于錐奇性凱勒-里奇流解的存在性證明的實(shí)際需要,我們將研究撓動(dòng)凱勒-里奇流解的局部高階正則性估計(jì)。值得注意的是,為了得到一列拋物Monge-Ampere方程的解φε(t)在任意時(shí)空區(qū)域K×[0,T]cc(M＼D)×[0,T]上的各階一致估計(jì)(這里的估計(jì)既包含關(guān)于空間變量的各階導(dǎo)數(shù)估計(jì)也包含關(guān)于時(shí)間變量的各階導(dǎo)數(shù)估計(jì)；一致性體現(xiàn)在該估計(jì)不依賴于ε和t),這里我們并沒有利用通常的拋物Schauder估計(jì),原因是通常的拋物Schauder估計(jì)不能得到零時(shí)刻附近的高階一致性估計(jì),僅可以得到K×[δ,T]上的高階一致性估計(jì),其中δ0并且這個(gè)估計(jì)依賴于6。我們的方法是將曲率,以及φε(t)的各階導(dǎo)數(shù)估計(jì)和橢圓估計(jì)結(jié)合起來(lái)討論。 我們記其中%，

本文編號(hào)：255207