【摘要】：本文旨在研究二維有限長和無限長對稱收縮管道內(nèi)的連續(xù)亞音速—音速流.流體在管道壁上滿足滑動(dòng)條件,且當(dāng)管道有限長時(shí),流體沿入口曲線的法向進(jìn)入管道.我們還要求出口曲線為音速線,且過上管壁上的固定點(diǎn).所研究的問題可描述為有界或無界區(qū)域上以音速線為自由邊界的具有非局部邊界條件的非線性退化橢圓型方程自由邊界問題,而且退化發(fā)生在自由邊界上.我們證明了當(dāng)管道豎直截口長度的變化率足夠小時(shí),管道內(nèi)連續(xù)亞音速一音速流存在且唯一,流體的速率是Ho1der連續(xù)的且流體在音速線上是奇異的,即在音速線上其速率是C1/2-Holder連續(xù)的而其加速度爆破.我們還確定了連續(xù)亞音速—音速流收斂到音速狀態(tài)的精確收斂速率與管道壁幾何性質(zhì)之間的關(guān)系.因?yàn)楣艿朗菍ΨQ的,所以我們只需考慮管道位于對稱軸上方的部分.本論文分為兩部分.第一部分為緒論,主要介紹各類可壓流體問題的相關(guān)歷史和研究現(xiàn)狀,以及本文的工作和結(jié)構(gòu)安排.例如一維非定常多方氣體Euler方程組的重要結(jié)論,與本文所研究的管道內(nèi)連續(xù)亞音速—音速流相關(guān)的問題的研究成果,以及有激波或無激波的超音速流和跨音速流的研究進(jìn)展,等等.第二部分為論文的主體部分,分為以下三章:在第一章中,我們研究有限長收縮管道內(nèi)的連續(xù)亞音速—音速流,而且是在只要求管道壁在出口端嚴(yán)格收縮的較弱條件下.在存在性定理的證明中,我們需先研究入口速率和上管壁速率給定時(shí)的固定邊界退化橢圓型方程邊值問題.由于取消了對上管壁對應(yīng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的限制,固定邊界問題的上下解很難構(gòu)造.這迫使我們先就出口速率是足夠小亞音速時(shí)給予解的存在性證明,再通過管道內(nèi)流體平均速率的估計(jì)證明出口處速率可以達(dá)到音速,從而得到固定邊界問題解的存在性.然后,我們通過選取合適的函數(shù)空間,利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明連續(xù)亞音速—音速流問題解的存在性.解的正則性由Harnack不等式推得.通過選取合適的坐標(biāo),我們利用能量估計(jì)的方法證明了連續(xù)亞音速—音速流問題解的唯一性.在第二章中,我們考慮充分遠(yuǎn)處水平而出口端嚴(yán)格收縮的特殊無限長管道內(nèi)連續(xù)亞音速—音速流.該問題在位勢平面上是無界區(qū)域上的定解問題.我們先證明有界區(qū)域上截?cái)鄦栴}存在唯一解,并得到一些正則性估計(jì).對截?cái)鄦栴}的解取極限,在局部一致收斂意義下得到無限長收縮管道內(nèi)連續(xù)亞音速—音速流問題的解.值得注意的是,我們需要借助管道壁的幾何性質(zhì)取得不依賴于截?cái)喙艿篱L度的正常數(shù),使得當(dāng)管道豎直截口變化率小于該常數(shù)時(shí),截?cái)鄦栴}都存在唯一解.解的正則性可用Harnack不等式證明.我們還研究流體的速率的漸近行為.通過對問題在充分遠(yuǎn)處的一段進(jìn)行伸縮變換和周期延拓,并利用Harmack不等式,我們得到了流體的速率關(guān)于位勢和流函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的漸近行為,并由此得到流體在充分遠(yuǎn)處是一致亞音速的,繼而得到流體的質(zhì)量通量與無窮遠(yuǎn)處流體速率極限和管道豎直截口長度極限的關(guān)系.結(jié)合合適的坐標(biāo)選取,通過細(xì)致的能量估計(jì),我們證明了管道內(nèi)滿足這種漸近行為的連續(xù)亞音速一音速流的唯一性.在最后一章中,我們利用充分遠(yuǎn)處水平的無限長管道逼近的辦法,處理無窮遠(yuǎn)處的極限水平而出口端收縮的一般無限長管道內(nèi)的連續(xù)亞音速—音速流.利用管道壁的幾何性質(zhì),我們對流體速率關(guān)于流函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)作了更加細(xì)致的估計(jì),取到一個(gè)不依賴于逼近管道的正常數(shù),使得當(dāng)管道豎直截口變化率小于該常數(shù)時(shí),逼近問題都存在唯一解.對逼近問題的解取極限,在局部一致收斂意義下得到一般無限長管道對應(yīng)問題的解的存在性.解的正則性可用Harmack不等式證明.在流體速率的漸近行為研究中,我們?nèi)孕枰獙栴}在充分遠(yuǎn)處的一段進(jìn)行伸縮變換和周期延拓.但此時(shí)問題在上管壁上不滿足齊次Neumann條件,所以我們需要引入適當(dāng)?shù)淖儞Q將管道壁上的邊界條件都轉(zhuǎn)化為齊次Neumann條件.變換后的方程雖然是有源的非齊次方程,但是管道壁的幾何性質(zhì)保證了源項(xiàng)在伸縮和延拓后依然有較好的性質(zhì).這樣,利用第二章中的方法便可以得到流體速率關(guān)于位勢和流函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的漸近行為,繼而證明了流體在無窮遠(yuǎn)處是一致亞音速的,流體的質(zhì)量通量與無窮遠(yuǎn)處流體速率極限和管道豎直截口長度極限的關(guān)系,以及管道內(nèi)滿足這種漸近行為的連續(xù)亞音速—音速流的唯一性。
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【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O354

【相似文獻(xiàn)】

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1 周鳴君;有限長和無限長收縮管道內(nèi)的連續(xù)亞音速一音速流[D];吉林大學(xué);2017年

2 聶元元;收縮管道中的連續(xù)亞音速—音速流的擾動(dòng)問題[D];吉林大學(xué);2014年

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本文編號：2446043