發(fā)布時間：2018-12-10 12:15

【摘要】：爆破分析是偏微分方程和幾何分析研究中的一個重要工具,在研究方程解的存在性,解序列的緊性及其相關(guān)性質(zhì)上都有重要應(yīng)用.本文主要研究幾類偏微分方程的爆破分析,涉及到對應(yīng)于各向異性N-Laplacian算子的Liouville方程-QNu=Veu和張力場屬于Lp.p≥6/5的逼近H-surfaces方程.算子有界性在分析和方程先驗(yàn)估計中有很多重要的應(yīng)用,本文最后討論了非齊性度量測度空間上的多線性奇異積分交換子在多重Lebesgue空間上的有界性.具體而言,本文的主要結(jié)果如下.1. -QNu=Veu的爆破分析這部分的主要結(jié)果是關(guān)于方程-QNu=Veu解的先驗(yàn)估計和爆破分析.定理0.1.設(shè)Ω是RN,N≥2中的有界區(qū)域且u是方程的弱解.則對任意f∈L1(Ω)和任意有定理0.2.設(shè)u和v分別是-QNu=f(x)0當(dāng)x∈Ω和的弱解.則對任何δ∈(0,βN),有其中定理0.3.設(shè)Ω是RN,N≥2中的有界區(qū)域并且{un}n=1∝是方程-QNun=Vn(x)eun 當(dāng)x∈Ω.的一列弱解,其中Vn(x)≥0,‖Vn‖Lp≤C1,1q≤∞且‖eun‖Lq'≤C2則通過選取子列僅出現(xiàn)下列情形中的一種情形:(ⅰ) un在Lloc∞(Ω)中有界;(ⅱ) 在Ω的任何緊子集上un→-∝一致成立;(ⅲ) s={p1,...,pm}是非空有限集且在Ω\s的任何緊子集上un→-∞一致成立.且對于任何的i,在Ω上Vneun依測度收斂到其中爆破集S被定義為S:={x∈Ω:(?)xn∈Ω使得xn→x和un(xn)→+∞}.定理0.4.設(shè)Ω是RN,N≥2中的有界區(qū)域且{un}n=1∞是方程-QNun=Vn(x)eun當(dāng)x∈Q,(1)滿足條件的一列弱解.令(Vn)是一列Lipschitz連續(xù)函數(shù)滿足Vn(x)≥0,Vn(x)在C0(Ω)上一致收斂到V,‖%絍n‖L∞≤C.并且滿足如果僅有一個爆破點(diǎn),則相應(yīng)的爆破值Ⅱ. 逼近H-surfaces的爆破分析這部分的主要結(jié)果是張力場屬于Lp,p≥6/5的逼近H-surfaces的能量等式和no neck性質(zhì).定理0.5.假定{un}n=1∞(?)W1,2(B,R3)∩L∞(B,R3)是一列逼近H-surfaces △un=2H(un)un,x1∧un,x2+τ(un),其中H(·)∈L∞(R3),τ(un)∈Lp(B),p≥6/5,滿足(ⅰ)‖%絬n‖L2(B)+‖H(un)‖L∞(R3)+‖τ(un)‖Lp(B)≤M∞,(ⅱ) 當(dāng)m→∞時,un在W1,2(B\{0},R3)中強(qiáng)收斂到u.那么存在{u。}的子列仍然記為{un})和正整數(shù)L,使得對于任意的i=1,2,…,L,存在點(diǎn)列xni和rni以及非常數(shù)H-surfaces wi滿足(1) 當(dāng)n→∞,有xni→0和rni→0;(2)對任意的i≠j,有(3) ωi是un(xni+rnix)在Wloc1,2(R2,R3)上的弱極限或強(qiáng)極限;(4) 能量等式成立:(5)no neck性質(zhì):像集u(B)∪i=1L wi(R2)是連通的.Ⅲ. 非齊性度量測度空間上的多線性奇異積分交換子這部分主要考慮非齊性度量測度空間上的多線性奇異積分算子與RBMO(μ)函數(shù)生成的交換子在多重Lebesgue空間上的有界性.定理0.6.假定μ是Radon測度滿足||μ||=∞.令1p1,p2+∞,f1∈Lp1(μ),f2∈Lp2(μ)和b1,b2∈RBMO(μ)若T是從L1(μ)×L1(μ)到L1/2,∞(μ)上的有界算子,則存在常數(shù)C0使得‖[b1,b2,T](f1,f2)‖Lq(μ)≤C‖f1‖Lp1(μ)‖f2‖Lp2(μ),其中注記0.7.當(dāng)||μ||∞,由第三章第二節(jié)的引理4.6知,若G分別取Iα,2,[b1,Iα,2],[b2,Iα,1]和[b1,b2,Iα,2]時,都成立∫XG(f1,f2)(x)dμ(x)=0,則定理0.6仍然成立.
[Abstract]:Blasting analysis is an important tool in the study of partial differential equations and geometric analysis. It has important applications in the study of the existence of solutions, the compactness of solution sequences and their related properties. In this paper, we mainly study the blow-up analysis of some kinds of partial differential equations, involving the Liouville equation corresponding to anisotropic N-Laplacian operator-QNu=Veu and the approximate H-surfaces equation in which the tension field belongs to Lp.p 鈮，

本文編號：2370549