本文選題：次擴散　切入點：CTRWs　出處：《中國科學院大學(中國科學院武漢物理與數(shù)學研究所)》2017年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：經(jīng)典的擴散理論廣泛應用自然科學的諸多領域,例如物理、生物、化學等,取得了很大的成就。然而,各種分形、多孔介質等復雜系統(tǒng)上的擴散表明經(jīng)典的擴散理論不再適用。實驗表明,此類擴散往往呈現(xiàn)反常擴散的特征。研究人員發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微分方程是刻畫反常擴散的有效工具。由于分數(shù)階微分算子的非局部性,其數(shù)值方法和分析研究(例如解的適定性、正則性等問題)仍處在初步階段。本文主要研究次擴散條件下的雙分子反應、分形中的次擴散方程的數(shù)值方法和初步探索分數(shù)階微分方程解的適定性問題,具體如下:第一章,介紹了次擴散和分數(shù)階微積分相關的研究背景和研究內容。第二章,簡要介紹了分數(shù)階微積分的基本定義和性質以及相關的特殊函數(shù)如Mittag-Leffler 函數(shù)和 Fox H 函數(shù)。第三章,研究次擴散條件下的雙分子可逆反應A+B(?)C。利用CTRWs給出了反應次擴散過程的微觀描述,基于CTRWs模型,建立了反應次擴散過程的分數(shù)階微分方程宏觀描述。最后,分析了粒子的統(tǒng)計性質和穩(wěn)態(tài)解曲線,得到一類與時間成正比的分數(shù)階矩。第四章,研究了一類分形介質中的分數(shù)階次擴散方程的第一初邊值問題。通過分數(shù)階奇異Sturm-Liouville問題給出了其級數(shù)形式解,此外,我們建立了分形介質中的次擴散方程隱式數(shù)值格式,證明了其穩(wěn)定性、收斂性。最后,我們定義了關于譜維數(shù)ds和次擴散指標dω的魯棒性指標,通過數(shù)值分析,發(fā)現(xiàn)譜維數(shù)ds對最大絕對誤差影響相比較而言更大。第五章第一部分,我們研究如下抽象非線性微分方程0CDtαu(t)= A(t,u)u(t)+ f(t,u(t),Bu(t)),0α1,0tT.的局部和非局部Cauchy問題。運用不動點理論,分別給出了方程經(jīng)典解和適度解存在的條件,并證明了解對初值的連續(xù)依賴性。第五章第二部分,我們研究帶有空間Riesz導數(shù)的n維分數(shù)階對流擴散方程利用Rothe方法(即所謂的半差方法),我們證明了上述方程弱解的存在性。
[Abstract]:Classical diffusion theory has been widely used in many fields of natural science, such as physics, biology, chemistry and so on. The diffusion on complex systems such as porous media indicates that the classical diffusion theory is no longer applicable. The fractional differential equation is an effective tool for characterizing anomalous diffusion. Due to the nonlocality of fractional differential operators, its numerical methods and analytical studies (such as the suitability of solutions, In this paper, we mainly study the bimolecular reaction under the condition of subdiffusion, the numerical method of the subdiffusion equation in fractal and the problem of the fitness of the solution of fractional differential equation. The main contents are as follows: chapter 1, This paper introduces the research background and contents of subdiffusion and fractional calculus. In chapter 2, the basic definition and properties of fractional calculus and the special functions such as Mittag-Leffler function and Fox H function are briefly introduced. The reversible bimolecular reactions under subdiffusion conditions are studied. The microscopic description of the reaction sub-diffusion process is given by using CTRWs. Based on the CTRWs model, the fractional differential equation macroscopic description of the reaction sub-diffusion process is established. Finally, the statistical properties of the particle and the steady state solution curve are analyzed. In chapter 4th, the first initial-boundary value problem of fractional order diffusion equation in fractal media is studied. The series form solution of the fractional order singular Sturm-Liouville problem is given, in addition, the first initial boundary value problem of fractional order diffusion equation in fractal medium is obtained. In this paper, we establish implicit numerical schemes for subdiffusion equations in fractal media, and prove their stability and convergence. Finally, we define the robustness index of the spectral dimension DS and the secondary diffusion index d 蠅. It is found that the spectral dimension DS has a greater effect on the maximum absolute error than the maximum absolute error. In Chapter 5th, in the first part, we study the local and nonlocal Cauchy problems of the abstract nonlinear differential equation 0CDT 偽 u ~ (t) = a ~ (t) t ~ (t)). The conditions for the existence of classical solution and moderate solution of the equation are given respectively, and the continuous dependence of the solution on the initial value is proved. In this paper, we study the n-dimensional fractional convection-diffusion equations with spatial Riesz derivatives. By using the Rothe method, we prove the existence of weak solutions of the above equations.
【學位授予單位】：中國科學院大學(中國科學院武漢物理與數(shù)學研究所)
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O175

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本文編號：1629295