本文關(guān)鍵詞： 布朗運(yùn)動 到達(dá)邊緣分布 Minkowski空間 Laplace-Beltrami算子 Dirich-let問題 變量分離法　出處：《吉林大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：自19世紀(jì)英國植物學(xué)家Rorbert Brown觀察到花粉微粒在液體中做不規(guī)則運(yùn)動以來,關(guān)于這個被命名為布朗運(yùn)動的物理現(xiàn)象的研究就從未停止.先是物理學(xué)家A.Einstein與Marian von Smoluchowski等得到了歐氏空間中布朗運(yùn)動轉(zhuǎn)移概率密度所滿足的擴(kuò)散方程,荷蘭科學(xué)家Adriaan Daniel Fokker與德國物理學(xué)家Max Planck對一般擴(kuò)散過程的擴(kuò)散方程做了研究.在構(gòu)造了布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型之后,數(shù)學(xué)家們在研究布朗運(yùn)動時發(fā)現(xiàn):布朗粒子所在的空間幾何結(jié)構(gòu)不同,會影響擴(kuò)散過程的常返性.在德國數(shù)學(xué)家P.Koebe與法國數(shù)學(xué)家H.Poincare證明了著名的單值化定理之后,數(shù)學(xué)家們通過位勢理論徹底將布朗運(yùn)動與Riemannian幾何聯(lián)系在一起.而隨著A.Einstein搭建了狹義相對論的理論框架,越來越多的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家將傳統(tǒng)的熱力統(tǒng)計學(xué)理論推廣到相對論的框架中來,由此得到了布朗粒子在Minkowski空間中,概率密度函數(shù)ρ所滿足的擴(kuò)散方程(?)ρ/(?)t=1/2△gρ,以及布朗運(yùn)動的邊緣到達(dá)分布u滿足的穩(wěn)態(tài)方程1/2△gρu = 0,其中△g是Minkowski空間中的Laplace-Beltrami算子.由此,計算布朗粒子邊緣到達(dá)分布的問題就轉(zhuǎn)化為求解一個Dirichlet問題.我們在第一章中介紹了以上的背景與理論基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上,本文旨在探討布朗運(yùn)動在不同維數(shù)的Minkowski空間中偽球面上到達(dá)特定緯度的邊緣到達(dá)分布.由于Minkowski空間中的偽球面就是雙曲面模型,因此,我們嘗試使用文獻(xiàn)[11]中的方法與思路,通篇使用偏微分方程的變量分離法.在第二章中,我們給出了 Minkowski空間中類空間、類時間、類光區(qū)域以及類空間、類時間偽球面的基本概念,給出了此空間中的內(nèi)積、距離、度量公式,以及直角坐標(biāo)下Laplace-Beltrami算子的表達(dá)形式.我們還探討了一下Minkowski空間中Laplace-Beltrami算子譜的非負(fù)性,詳細(xì)的計算了三維及高維情形中使用偽球極坐標(biāo)時Laplace-Beltrami算子的表達(dá)式.我們介紹了幾個求解方程時會遇到的常微分方程、超幾何函數(shù)、Gegenbauer多項式和為了簡便所使用的符號.接下來,在第三章中,我們將三維Minkowski空間分成R13與R23兩種情況.對空間R13,我們進(jìn)行了詳細(xì)的計算,分別得到了類空間與類時間偽球面上邊緣到達(dá)分布的公式,歸結(jié)為定理3.1.1與定理3.2.1,并對解的概率性質(zhì)進(jìn)行了驗證.對于空間R23,由于問題的等價性,我們直接得到了定理3.3.1.最后,在第四章中,我們對一般的高維情形進(jìn)行了討論.根據(jù)l與v不同導(dǎo)致的單位球面Laplace算子退化程度不同,將問題劃分為四種情況.重復(fù)三維情形的計算過程,使用變量分離法得到方程的通解,再利用邊值條件以及三角函數(shù)系與Gegenbauer多項式的正交性,得到我們想要的邊緣到達(dá)分布,由此得到定理4.1.1與定理4.3.1.并且,對于類空間情形,我們詳細(xì)驗證了所得到的每一個邊緣到達(dá)分布的概率性質(zhì).
[Abstract]:Since 19th century, when British botanist Rorbert Brown observed the irregular movement of pollen particles in liquids, The study of the physical phenomenon named Brownian motion has never stopped. Firstly, physicists A. Einstein and Marian von Smoluchowski have obtained the diffusion equation satisfied by the probability density of the transfer of Brownian motion in Euclidean space. Adriaan Daniel Fokker, a Dutch scientist, and Max Planck, a German physicist, studied the diffusion equations of general diffusion processes. When studying the Brownian motion, mathematicians found that the spatial geometric structure of the Brownian particle would affect the recurrence of diffusion process. After the famous singularization theorem was proved by the German mathematician P. Kobey and the French mathematician H. Poincare, Mathematicians connected the Brownian motion to Riemannian geometry completely through the potential theory. And as A. Einstein built the theoretical framework of special relativity, more and more physicists, Mathematicians extended the traditional theory of thermal statistics to the framework of relativity, and obtained the diffusion equation of Brownian particle in Minkowski space, which is satisfied by the probability density function 蟻? ) 蟻 / R? 1 / 2 g 蟻 and 1/2 g 蟻 u, where g is the Laplace-Beltrami operator in Minkowski space, and the stable equation of the edge arrival distribution u of the Brownian motion is 1/2 g 蟻 u = 0, where g is the Laplace-Beltrami operator in Minkowski space. The problem of calculating Brownian particle edge arrival distribution is transformed into solving a Dirichlet problem. In the first chapter, we introduce the above background and theoretical basis. The purpose of this paper is to investigate the edge arrival distribution of Brownian motion on pseudo-sphere in Minkowski space with different dimensions. Since the pseudo-sphere in Minkowski space is a hyperboloid model, we try to use the method and train of thought in reference [11]. In the second chapter, we give the basic concepts of class space, class time, quasi-optical region, quasi-space and quasi-time pseudo-sphere in Minkowski space, and give the inner product and distance in this space. We also discuss the nonnegativity of the spectrum of Laplace-Beltrami operators in Minkowski spaces. The expressions of the Laplace-Beltrami operator using pseudo spherical polar coordinates in three dimensional and high dimensional cases are calculated in detail. We introduce several ordinary differential equations, hypergeometric functions, Gegenbauer polynomials and symbols for convenience. In the third chapter, we divide the three-dimensional Minkowski space into two cases, R13 and R23. For the space R13, we calculate it in detail, and obtain the formulas of the arrival distribution of the edges on the pseudo-sphere of quasi-space and quasi-time, respectively. Theorem 3.1.1 and theorem 3.2.1 are reduced to theorem 3.1.1, and the probabilistic properties of the solution are verified. For the space R23, due to the equivalence of the problem, we directly obtain Theorem 3.3.1.Finally, in Chapter 4th, In this paper, we discuss the general high dimensional case. According to the degeneracy degree of the unit spherical Laplace operator caused by the difference of l and v, the problem is divided into four cases. The general solution of the equation is obtained by using the method of variable separation, and the boundary value condition and the orthogonality between trigonometric function system and Gegenbauer polynomial are used to obtain the desired edge arrival distribution, and the theorems 4.1.1 and 4.3.1 are obtained. We verify the probabilistic properties of each edge arrival distribution in detail.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O552.1

【相似文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 銉■RENM■■ Alper Osman;BALGET■R Handan;ERGüT Mahmut;;On the Ruled surfaces in Minkowski 3-space R_1~3[J];Journal of Zhejiang University Science A(Science in Engineering);2006年03期

2 蔣鋒;;K集的Minkowski容度[J];河北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);2008年02期

3 ;Singularities of de Sitter Gauss map of timelike hypersurface in Minkowski 4-space[J];Science in China(Series A:Mathematics);2008年02期

4 ;On Minkowski Constant of Function Fields[J];Northeastern Mathematical Journal;1999年01期

5 于學(xué)釬,于學(xué)剛;論Minkowski空間的分立結(jié)構(gòu)[J];通化師范學(xué)院學(xué)報;2002年02期

6 ;Greedy Algorithm Computing Minkowski Reduced Lattice Bases with Quadratic Bit Complexity of Input Vectors[J];Chinese Annals of Mathematics(Series B);2011年06期

7 谷超豪;;The Extremal Surfaces in the 3-dimensional Minkowski Space[J];Acta Mathematica Sinica;1985年02期

8 顏胡威;Minkowski猜想的一個特殊情況[J];松遼學(xué)刊(自然科學(xué)版);1985年01期

9 杜長安;關(guān)于Minkowski泛函的一些性質(zhì)[J];徐州師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版);1986年02期

10 許晶;吳曉微;;Minkowski空間上平分集的道路連通性[J];通化師范學(xué)院學(xué)報;2013年12期

相關(guān)會議論文 前1條

1 ;Conformal Triality of de Sitter,Minkowski and Anti-de Sitter Spaces[A];Proceedings of CCAST(World Laboratory) Workshop--Experimental Tests on Special Relativity and Determination of Intertial Systems[C];2007年

相關(guān)博士學(xué)位論文 前9條

1 張劍飛;基于冗余過濾的多面體Minkowski和計算方法研究[D];燕山大學(xué);2015年

2 李晉;從L_p Minkowski賦值到Orlicz賦值以及一般性的函數(shù)值賦值[D];上海大學(xué);2016年

3 蔣曉萌;Minkowski空間中布朗運(yùn)動在偽球面上的邊緣到達(dá)分布[D];吉林大學(xué);2017年

4 紀(jì)鳳輝;三維Minkowski空間中的螺旋面和偽全臍曲面[D];大連理工大學(xué);2006年

5 耿清甲;直接映射機(jī)制的Minkowski和算法理論研究[D];燕山大學(xué);2014年

6 孔令令;四維Minkowski空間中子流形的微分幾何[D];東北師范大學(xué);2010年

7 胡長青;Firey p-和的Christoffel-Minkowski問題[D];華東師范大學(xué);2003年

8 黃卿中;Orlicz Minkowski問題及其相關(guān)極值問題[D];上海大學(xué);2014年

9 汪衛(wèi);賦值在Lp-Brunn-Minkowski理論研究中的應(yīng)用[D];上海大學(xué);2010年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前10條

1 劉元峰;基于Minkowski和的飛機(jī)翼身自動對接技術(shù)研究[D];燕山大學(xué);2015年

2 公磊;Minkowski分形微帶貼片天線的理論研究與設(shè)計[D];燕山大學(xué);2015年

3 孫嘵敏;Minkowski平面內(nèi)的等腰集[D];河北師范大學(xué);2016年

4 谷偉莉;三維Minkowski空間中廣義常比率類時曲面的分類[D];鄭州大學(xué);2016年

5 劉建國;對偶平均Minkowski非對稱度臨界點(diǎn)集的若干性質(zhì)[D];蘇州科技大學(xué);2017年

6 宋偉;Minkowski平面圓的相關(guān)問題的研究[D];哈爾濱理工大學(xué);2010年

7 曾宇;一類曲線的Minkowski容度[D];華中師范大學(xué);2005年

8 楊光;非方常數(shù)在對稱的Minkowski平面中的計算與表示[D];哈爾濱理工大學(xué);2006年

9 趙廣宇;三維Minkowski空間中一般螺線的幾何性質(zhì)[D];東北師范大學(xué);2006年

10 李躍全;Minkowski平面上的切線與割線[D];哈爾濱理工大學(xué);2010年

，

本文編號：1539682