本文關鍵詞： 特征值問題 分片常數水平集方法 反散射問題 有限元方法 敏感度分析　出處：《浙江大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：光學研究在生活生產中具有十分重要的意義。在工業(yè)上,它廣泛應用于通訊業(yè),計算機業(yè),制造業(yè)及數據存儲等的產品中。對于與之相關的物理現象。科學家們一直在試圖建立有效的模型進行解釋,比如說衍射光學中研究的重心在微光子原件上,由于其元件維度與可見光波長在同一單位上,如此小的結構規(guī)模通過經典幾何光學已經無法解釋了,需要通過求解對應方程,對在其中的光波的傳遞進行預測。光作為一種電磁波,其在介質中的傳播,可以用Maxwell方程組來刻畫,對于不同類型的材料,可以體現在方程本身的參數中,也可以體現在其方程所滿足的邊界上。我們希望可以不用實際物理實驗就能對光在介質中的傳播給出一些判斷,比如說,光是否被吸收了?光是何種頻率的?對光起作用的介質是什么形狀的?這一系列問題都可以通過求解問題所對應的數學模型給出結論,我們關心的就是這一類具有實際物理意義的特征值問題。本文主要討論兩類光學中的數學模型及其中包含的特征值計算、分析及優(yōu)化問題,分別為光子晶體形狀優(yōu)化問題和散射理論中的傳遞特征值問題。第一章對此兩類問題的數學實質進行了簡單介紹。第二章針對光子晶體這類特殊的材料的光子禁帶最大化問題,提出了兩類不同的數值方法進行優(yōu)化：一類是分片常數水平集方法,首先將光子晶體結構使用分片常數水平集函數進行表示,其次使用有限元方法求解離散后的特征值問題,再將通過敏感度分析手段得到的目標泛函關于水平集函數的導數作為下降梯度,使用梯度下降法,得到最優(yōu)結構,給出了TM模下,TE模下的光子禁帶和完全光子禁帶,其中TE模下的最大光子禁帶為0.2922,為目前了解到的最大光子禁帶；另一類方法是針對完全光子禁帶最大化問題,提出將方程中的密度函數寫成Fourier函數展開形式,將對晶體結構的優(yōu)化問題轉化為求解Fourier函數前面的系數的問題,同樣得到了不錯的數值結果。第三章是針對散射理論中具有重要意義的內／外傳遞特征值問題進行的研究,對于這一大類具有特殊結構的特征值問題,提出了一類新的數值求解算法。我們首先將問題轉化為四階形式,然后在變分意義下給出其問題的等價弱解形式,同時在變分內部進行變量替換,得到補充邊界條件,使用有限元離散化后,問題轉化為多項式特征值問題,最后將其線性化,最終數值結果顯示算法能夠高效,精確的一次解出多個特征值。第四章對全文的工作做了一下總結,并提出了未來的研究方向。
[Abstract]:Optical research is of great significance in the production of life. In industry, it is widely used in the communications industry, the computer industry, In products such as manufacturing and data storage, scientists have been trying to build effective models to explain the physical phenomena associated with it, for example, in diffraction optics, where the focus of research is on the original photons. Since the element dimension is in the same unit as the visible wave length, such a small structure can no longer be explained by classical geometrical optics, so it is necessary to solve the corresponding equation. The propagation of light in the medium as an electromagnetic wave can be described by Maxwell equations, and for different types of materials, it can be reflected in the parameters of the equation itself. We hope that we can give some judgment on the propagation of light in the medium without actual physical experiments. For example, is the light absorbed? What is the frequency of light? What is the shape of the medium acting on light? This series of problems can be obtained by solving the corresponding mathematical model of the problem. We are concerned with this kind of eigenvalue problems of practical physical significance. This paper mainly discusses the mathematical models of two kinds of optics and the calculation, analysis and optimization of the eigenvalues contained therein. In the first chapter, the mathematical essence of these two kinds of problems are briefly introduced. In the second chapter, we focus on the maximization of photonic bandgap for special materials such as photonic crystals. Two kinds of numerical methods are proposed for optimization: one is the level set method of piecewise constants. Firstly, the structure of photonic crystals is represented by the level set function of piecewise constants, and then the finite element method is used to solve the discrete eigenvalue problem. Then the derivative of the level set function of the target functional obtained by sensitivity analysis is taken as the descending gradient, and the optimal structure is obtained by using the gradient descent method. The photonic bandgap and the complete photonic band gap in te mode under TM mode are given. The maximum photonic bandgap in te mode is 0.2922, which is the largest photon gap known at present. Another method is to write the density function in the equation as Fourier function expansion for the problem of maximization of complete photonic bandgap. The optimization problem of crystal structure is transformed into the problem of solving the coefficients in front of Fourier function, and good numerical results are obtained. For this class of eigenvalue problems with special structure, a new numerical algorithm is proposed. Firstly, we transform the problem into fourth-order form, then give the equivalent weak solution form of the problem in the variational sense. At the same time, the variables are replaced inside the variation to obtain the supplementary boundary conditions. After discretization of finite element, the problem is transformed into polynomial eigenvalue problem. Finally, it is linearized. The final numerical results show that the algorithm is efficient. In chapter 4th, the work of this paper is summarized, and the future research direction is proposed.
【學位授予單位】：浙江大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O436

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本文編號：1512211