本文關(guān)鍵詞： 四階非線(xiàn)性?huà)佄锓匠?差分法 擬譜方法 Fourier譜方法 長(zhǎng)時(shí)間行為　出處：《吉林大學(xué)》2017年博士論文　論文類(lèi)型：學(xué)位論文

【摘要】：高階非線(xiàn)性?huà)佄锓匠套鳛閿?shù)學(xué)模型可描述物理、化學(xué)、地理、環(huán)境科學(xué)等很多領(lǐng)域出現(xiàn)的現(xiàn)象,應(yīng)用廣泛,是非線(xiàn)性學(xué)科的一個(gè)重要組成部分.本文研究了三類(lèi)具有應(yīng)用背景的四階非線(xiàn)性偏微分方程的數(shù)值解法.理論上主要研究數(shù)值方法的先驗(yàn)估計(jì)和收斂性,特別是數(shù)值解的H~2模先驗(yàn)估計(jì),這是四階方程收斂性分析的基礎(chǔ).此外,文中也給出了數(shù)值實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證理論上的結(jié)果.首先,本文研究了描述晶體表面增長(zhǎng)的方程的差分法.關(guān)于該方程數(shù)值解法的研究不多,筆者曾經(jīng)和其他作者合作研究過(guò)該問(wèn)題的有限元法,但由于三次有限元形成剛度矩陣的計(jì)算量過(guò)大,因而又進(jìn)一步來(lái)研究方程的差分法.本文針對(duì)一維模型和二維模型各給出了一種差分格式,分別證明了差分解的存在唯一性、先驗(yàn)估計(jì)和收斂性,并給出了數(shù)值算例.該方程的非線(xiàn)性項(xiàng)是有理式形式,直接處理比較復(fù)雜,但通過(guò)一次分部積分可以大幅降低非線(xiàn)性項(xiàng)的復(fù)雜度.在有限元法的研究中是用連續(xù)內(nèi)積進(jìn)行分析,從而可以直接用分部積分處理非線(xiàn)性項(xiàng).但在構(gòu)造差分格式時(shí),如果只是簡(jiǎn)單移植,那么非線(xiàn)性項(xiàng)在離散內(nèi)積下不滿(mǎn)足分部積分.在不影響計(jì)算復(fù)雜度的前提下,為了能采取與有限元法相似的處理方法,本文針對(duì)該方程的一維模型構(gòu)造了一種半隱半顯型線(xiàn)性化差分格式,使得非線(xiàn)性項(xiàng)在相應(yīng)的離散內(nèi)積下可以進(jìn)行一次分部積分,從而降低非線(xiàn)性項(xiàng)的處理難度.在理論上證明了該數(shù)值格式在時(shí)間方向上為一階收斂,在空間方向上為二階收斂,數(shù)值算例驗(yàn)證了這一結(jié)果.針對(duì)二維模型本文構(gòu)造了 Crank-Nicolson型的差分格式,并定義了與之匹配的離散內(nèi)積,使得非線(xiàn)性項(xiàng)也可以進(jìn)行類(lèi)似的處理.所構(gòu)造的Crank-Nicolson型的差分格式雖然比線(xiàn)性化差分格式的計(jì)算量大,但在時(shí)間上達(dá)到二階收斂,綜合效果較好.數(shù)值結(jié)果也與該理論結(jié)果相吻合.其次,本文研究了二維擴(kuò)展的Fisher-Kolmogorov(EFK)方程u_t + γ△~2u-△u + f(u)= 0的擬譜方法.關(guān)于該方程的數(shù)值解法有較多的研究成果,方法涉及各類(lèi)有限元法和差分法.本文先對(duì)空間進(jìn)行離散,構(gòu)造了恰當(dāng)?shù)那蠼饪臻g和離散內(nèi)積,使得求解空間SN以及離散內(nèi)積的定義不僅與方程的初邊值條件相匹配,同時(shí)也滿(mǎn)足SN空間中基函數(shù)的正交性.在此基礎(chǔ)上,構(gòu)造了半離散擬譜近似格式,并證明了半離散解的存在性、先驗(yàn)估計(jì)及收斂性.進(jìn)而又建立了Crank-Nicolson型的全離散擬譜格式,證明了全離散解的先驗(yàn)估計(jì),并給出了按L2范數(shù)的最優(yōu)階誤差估計(jì).針對(duì)EFK方程的非線(xiàn)性項(xiàng)f(u)= u~3-u,在H~2半模先驗(yàn)估計(jì)的分析中引入能量泛函E_h(t)=γ/2||△u_h||~2+1/2||%絬_h||~2+(H(u_h),1)_h,u_h∈sN,其中H(u_h)=1/4(1-u_h~2)~2,并且H'(u_h)=f(u_h).利用能量泛函隨時(shí)間遞減的性質(zhì)證得H~2半模的先驗(yàn)估計(jì).全離散解的先驗(yàn)估計(jì)證明中也構(gòu)造和借助了相應(yīng)的離散能量泛函.給出了 Fourier擬譜方法的收斂性結(jié)果,并用數(shù)值算例驗(yàn)證了相應(yīng)的理論結(jié)果.最后,本文研究了一類(lèi)對(duì)流Cahn-Hilliard方程u_t+γ△~2u-△f(u)%絞(u)=0的Fourier譜近似解的長(zhǎng)時(shí)間行為,其f(u)為關(guān)于u的四次多項(xiàng)式,g(u)為關(guān)于u的五次多項(xiàng)式.文中給出了譜近似解的H~2模長(zhǎng)時(shí)間先驗(yàn)估計(jì)的證明,并對(duì)有限時(shí)間段分析了數(shù)值解的收斂性.數(shù)值解的先驗(yàn)估計(jì)是理論分析的基礎(chǔ),但由于該方程非線(xiàn)性項(xiàng)的特殊性,得到其數(shù)值解的H0模先驗(yàn)估計(jì)是難點(diǎn).為此本文針對(duì)非線(xiàn)性項(xiàng)%絞(u)給出了一種反對(duì)稱(chēng)格式,并利用該格式構(gòu)造了半離散譜近似格式,進(jìn)而建立了全離散格式.由于全離散格式中g(shù)(u)利用了反對(duì)稱(chēng)格式,所以有效地排除了該非線(xiàn)性項(xiàng)的影響,得到了 H0模的長(zhǎng)時(shí)間先驗(yàn)估計(jì).數(shù)值解H~2半模的先驗(yàn)估計(jì)中通常會(huì)借助于能量泛函,但該方程和H~2半模對(duì)應(yīng)的能量泛函難以找到.由于有了H0模的先驗(yàn)估計(jì),所以本文在H~2半模長(zhǎng)時(shí)間先驗(yàn)估計(jì)中,對(duì)非線(xiàn)性項(xiàng)的影響,采用充分地利用四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和H0模的估計(jì),并多次使用Nirenberge不等式的分析方法,得到了較好的理論結(jié)果.
[Abstract]:In this paper , we study the finite element method for solving the nonlinear term . In this paper , we study the finite element method for solving the nonlinear term by using the finite element method . In this paper , we have given a priori estimate of the H ~ 2 half - norm by means of the energy functional function .

【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類(lèi)號(hào)】：O241.82

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