本文關(guān)鍵詞：基于高階有限差分格式的Inverse Lax-Wendroff方法及其穩(wěn)定性分析　出處：《中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：用高階有限差分格式數(shù)值求解有限區(qū)域上偏微分方程(組)的初邊值問題時(shí),邊界條件的處理非常重要,它直接影響數(shù)值方法的相容性、穩(wěn)定性和精度。本文主要將Inverse Lax-Wendroff方法(簡(jiǎn)稱ILW方法)與簡(jiǎn)化Inverse Lax-Wendroff 方法(Simplified Inverse Lax-Wendroff method,簡(jiǎn)稱 SILW 方法)用于求解雙曲守恒律方程和擴(kuò)散方程初邊值問題高階有限差分格式的邊界處理中;并運(yùn)用GKS(Gustafsson,Kreiss and Sundstrom)分析和特征譜可視化方法分析格式的穩(wěn)定性。首先,我們將ILW方法及SILW方法用于求解一維雙曲守恒律方程(組)初邊值問題高階迎風(fēng)格式的邊界處理之中。邊界條件處理主要有兩個(gè)問題:一是,高階有限差分方法需要較大的模板,導(dǎo)致在邊界點(diǎn)附近需要定義虛擬點(diǎn)值;另一是,給定的物理邊界不在網(wǎng)格格點(diǎn)上。這都會(huì)給構(gòu)造有效的數(shù)值邊界條件帶來(lái)困難。ILW方法及SILW方法可以很好的解決上述兩個(gè)問題并得到穩(wěn)定且具有高精度的格式。ILW方法主要運(yùn)用方程形式將邊界點(diǎn)處的空間導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為已知邊界條件的時(shí)間導(dǎo)數(shù)進(jìn)而運(yùn)用在相應(yīng)邊界點(diǎn)處的Taylor展開得到虛擬點(diǎn)的值。若方程形式很復(fù)雜或所求空間導(dǎo)數(shù)階數(shù)較高時(shí),ILW方法會(huì)造成復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算。一種簡(jiǎn)化的ILW方法,即SILW方法,可以減少計(jì)算的復(fù)雜性和降低計(jì)算消耗。SILW方法仍運(yùn)用在邊界點(diǎn)處Taylor展開對(duì)虛擬點(diǎn)進(jìn)行賦值,但邊界點(diǎn)處空間導(dǎo)數(shù)值由以下兩種方式得到:(1)由ILW方法得到;(2)由拉格朗日外推得到。運(yùn)用上述兩種方法構(gòu)造了有效的數(shù)值邊界條件后我們運(yùn)用GKS分析和特征譜可視化方法分析格式的穩(wěn)定性以獲得相應(yīng)參數(shù)取值,最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證穩(wěn)定性分析結(jié)果。此外,我們將SILW方法擴(kuò)展到求解一維擴(kuò)散方程初邊值問題的高階中心差分格式中。主要考慮了 Dirichlet邊界和Neumann邊界兩種邊界條件。對(duì)于雙曲守恒律方程來(lái)說,邊界點(diǎn)處的所有階空間導(dǎo)數(shù)值均可以由ILW方法求出。但對(duì)于帶Dirichlet邊界條件的擴(kuò)散方程,只有偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)可以由方程形式和邊界條件求出。對(duì)于帶Neumann邊界條件的擴(kuò)散方程,只有奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)可以由方程形式和邊界條件求出。針對(duì)上述兩種不同的邊界條件,我們分別尋求了相應(yīng)的方法求解邊界處空間導(dǎo)數(shù)值,進(jìn)而運(yùn)用Taylor展開對(duì)虛擬點(diǎn)賦值,構(gòu)造了有效的數(shù)值邊界條件。而后運(yùn)用GKS分析和特征譜可視化方法分析格式穩(wěn)定性并得到保證格式穩(wěn)定的相應(yīng)參數(shù)取值,最后給出數(shù)值算例驗(yàn)證了算法。
[Abstract]:The boundary condition is very important in solving the initial boundary value problem of partial differential equations (systems) in finite domain by using higher order finite difference scheme, which directly affects the consistency of numerical methods. In this paper, the Inverse Lax-Wendroff method (ILW method) and the simplified Inverse Lax-Wendroff method (ILW method) are introduced. Simplified Inverse Lax-Wendroff method. SILW method is applied to the boundary treatment of high-order finite difference schemes for solving hyperbolic conservation law equations and diffusion equation initial-boundary value problems. The stability of the format is analyzed by GKS Gustafssonn Kreiss and Sundstrom and the method of feature spectrum visualization. We apply the ILW method and the SILW method to the boundary treatment of higher order upwind schemes for solving one-dimensional hyperbolic conservation law equations (systems). The higher order finite difference method requires a large template, which leads to the need to define virtual point values near the boundary point. The other is. The given physical boundary is not on the grid lattice point. This will bring difficulties to the construction of effective numerical boundary conditions. ILW method and SILW method can solve these two problems well and get stability and high precision. The scheme of degree. ILW method mainly uses the equation form to transform the space derivative at the boundary point into the time derivative of the known boundary condition and then use the Taylor expansion at the corresponding boundary point to obtain the value of the virtual point. If the form of the equation is very complex or the order of the space derivative is higher. The ILW method can result in complex algebraic operations. A simplified ILW method, the SILW method. It can reduce the computational complexity and reduce the computational cost. The SILW method is still used to assign the virtual point at the boundary point by Taylor expansion. However, the spatial conductance at the boundary point is obtained by the following two ways: 1) the ILW method; 2) derived from Lagrangian extrapolation. Using the above two methods to construct effective numerical boundary conditions, we use GKS analysis and feature spectrum visualization method to analyze the stability of the scheme to obtain the corresponding parameter values. Finally, the stability analysis results are verified by numerical examples. We extend the SILW method to the higher order central difference scheme for solving the initial boundary value problem of one-dimensional diffusion equation. Two boundary conditions, Dirichlet boundary and Neumann boundary, for hyperbolic conservation law equations. All the spatial derivative values at the boundary point can be obtained by the ILW method, but for the diffusion equations with Dirichlet boundary conditions. Only the even-order derivatives can be obtained from the form of equations and boundary conditions. For diffusion equations with Neumann boundary conditions. Only the odd-order derivatives can be obtained from the equation form and boundary conditions. For the above two different boundary conditions, we seek corresponding methods to solve the spatial derivative values at the boundary respectively. Then the virtual point is assigned by Taylor expansion. An effective numerical boundary condition is constructed, and then GKS analysis and feature spectrum visualization are used to analyze the stability of the scheme and obtain the corresponding parameter values to ensure the stability of the scheme. Finally, a numerical example is given to verify the algorithm.
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：1422047