本文關(guān)鍵詞：關(guān)于左對(duì)稱代數(shù)胚的若干研究　出處：《吉林大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：本文主要研究了左對(duì)稱代數(shù)胚、預(yù)辛代數(shù)胚、左對(duì)稱雙代數(shù)胚、左對(duì)稱代數(shù)胚的Manin三元組,建立了左對(duì)稱代數(shù)胚與李代數(shù)胚,預(yù)辛代數(shù)胚與辛李代數(shù)胚,左對(duì)稱雙代數(shù)胚與預(yù)辛代數(shù)胚的緊密聯(lián)系。更重要的是,我們將仿Kahler李代數(shù)胚和Hessian幾何應(yīng)用到左對(duì)稱雙代數(shù)胚相關(guān)理論中去。我們引入左對(duì)稱代數(shù)胚的概念,它是左對(duì)稱代數(shù)的推廣：從一個(gè)向量空間到一個(gè)向量叢。左對(duì)稱代數(shù)胚A的交換子給出了李代數(shù)胚Ac,我們稱之為鄰接李代數(shù)胚,左對(duì)稱代數(shù)胚A的左乘給出了鄰接李代數(shù)胚Ac的一個(gè)表示。我們從李代數(shù)胚的O-算子構(gòu)造左對(duì)稱代數(shù)胚,并將左對(duì)稱代數(shù)胚的乘法從r(A)延拓到Γ(A·),得到一個(gè)分次的李容許代數(shù),它的交換子剛好是鄰接李代數(shù)胚Ac的Schouten括號(hào)構(gòu)成的分次李代數(shù)。我們用左對(duì)稱代數(shù)胚研究了李代數(shù)胚的相空間,并證明了在左對(duì)稱代數(shù)胚A的鄰接李代數(shù)胚Ac上有一個(gè)自然的相空間(P,[·,·]P,aP,ω),其中P=Ac(?)L*,A*,對(duì) 于x,y∈Γ(A),ζ,η∈Γ(A*),P上的李代數(shù)胚結(jié)構(gòu)如下：辛結(jié)構(gòu)ω定義如下：并證明了在相空間P上有一個(gè)自然的仿復(fù)結(jié)構(gòu)P：P—}P定義如下：進(jìn)一步,如果這個(gè)左對(duì)稱代數(shù)胚是偽黎曼左對(duì)稱代數(shù)胚(A,(·,·)+),其中(·,·)+是左對(duì)稱代數(shù)胚A上的偽黎曼度量,則在這個(gè)相空間P上有一個(gè)自然的復(fù)結(jié)構(gòu)J：P→P定義如其中φ：A→A*由偽黎曼度量(·,·)+誘導(dǎo)的,即并使得{J,P}是相空間P上的復(fù)積結(jié)構(gòu),即滿足JP=-PJ。如果(·,·)+是左對(duì)稱代數(shù)胚A上的黎曼度量,則{J,ω}是相空間P上的Kahler結(jié)構(gòu),使得P是一個(gè)Kahler李代數(shù)胚。我們?cè)敿?xì)的討論了左對(duì)稱代數(shù)胚的表示,構(gòu)建了左對(duì)稱代數(shù)胚的上同調(diào)理論。我們引入了一個(gè)新的上同調(diào)：左對(duì)稱代數(shù)胚的形變上同調(diào),證明了左對(duì)稱代數(shù)胚的二階形變上同調(diào)群可以控制左對(duì)稱代數(shù)胚的形變。我們引入了Nijenhuis算子的概念,它可以生成一個(gè)平凡形變。我們建立了左對(duì)稱代數(shù)胚的微分理論,定義了李導(dǎo)數(shù)和縮并,并證明了類似于經(jīng)典流形上的微分公式,為進(jìn)一步對(duì)左對(duì)稱代數(shù)胚的研究奠定了基礎(chǔ)。我們引入了預(yù)辛代數(shù)胚的概念,并證明了如果(E,, p,(·,·)-)是預(yù)辛代數(shù)胚,則(E.[·.·]E,ρ,ω=(·,·)-)是辛李代數(shù)胚,其中反過(guò)來(lái),如果(E,[·,·]E,ρ,ω)是辛李代數(shù)胚,則(E,.ρ,(·,·)-=ω)是預(yù)辛代數(shù)胚,并且滿足其中乘法定義為：我們引入了預(yù)辛代數(shù)胚中Dirac結(jié)構(gòu)的概念,證明了預(yù)辛代數(shù)胚(E,,ρ,(·,·)-)的Dirac結(jié)構(gòu)與相應(yīng)的辛李代數(shù)胚(E,[·,·]E,ρ,ω=(·,·))的拉格朗日子代數(shù)胚是一一對(duì)應(yīng)的。我們研究了仿復(fù)預(yù)辛代數(shù)胚,并證明了如果(E,, p,(·,·)-,P)是一個(gè)仿復(fù)預(yù)辛代數(shù)胚,則(E,[·,·]E,ρ,ω(·,·)-,P)是一個(gè)仿Kahler李代數(shù)胚。反過(guò)來(lái),如果(E,[·,.]E,ρ,ω,P)是個(gè)仿Kahler李代數(shù)胚,則(E,,ρ,(·,·)-=ω,P)是一個(gè)仿復(fù)預(yù)辛代數(shù)胚。另外,如果(E,(?),ρ(·.·)-,P)是一個(gè)仿復(fù)預(yù)辛代數(shù)胚,則(E,g)是一個(gè)偽黎曼李代數(shù)胚,其中偽黎曼度量如下給出：并且證明了仿復(fù)預(yù)辛代數(shù)胚的乘法與相應(yīng)偽黎曼李代數(shù)胚的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)在拉格朗日子代數(shù)胚上的限制是一致的。我們對(duì)恰當(dāng)?shù)念A(yù)辛代數(shù)胚進(jìn)行了研究,并證明了恰當(dāng)?shù)念A(yù)辛代數(shù)胚可由左對(duì)稱代數(shù)胚的三階上同調(diào)群進(jìn)行分類。我們引入了左對(duì)稱雙代數(shù)胚的概念,并證明如果(A,·A,aA)是一個(gè)左對(duì)稱代數(shù)胚,對(duì)于任意H ∈Sym2(A)滿足S-方程,即[H,H]=0,則(A*,·H,αA*=αA○H#)是一個(gè)左對(duì)稱代數(shù)胚,其中H@：A*→A定義為：H@(ζ)(η)=H(ζ,η),乘法·H定義如下：H@是左對(duì)稱代數(shù)胚(A*,·H,αA*)和(A,·A,aA)間的同態(tài),并且(A,A*)是左對(duì)稱雙代數(shù)胚。特別的,如果(M,%，

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