本文關鍵詞：無界區(qū)域上全對角化廣義Laguerre譜方法　出處：《上海師范大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

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【摘要】：近四十年來,譜方法的研究取得了很大進展,已廣泛應用于諸多領域的數值模擬,如熱傳導、量子力學、流體力學、數值天氣預報和金融數學等。譜方法在當今的科學和工程計算中起到了非常重要的作用,并與有限元方法和有限差分法一起成為數值求解微分方程的有力工具。譜方法的最大優(yōu)點是計算的高精度,也就是所謂的“無窮階”收斂性。即真解越光滑,譜方法的收斂速度越快。特別地,當真解無窮可微時,數值解呈指數收斂。譜方法的主要特點是選擇無窮階可微的正交函數作為基函數來逼近微分方程的解,選擇不同的基函數就得到了不同的譜逼近方法。例如,周期問題的Fourier譜方法,有界區(qū)域問題的Jacobi譜方法,無界區(qū)域問題的Laguerre譜方法以及Hermite譜方法等。通常求解無界區(qū)域上微分方程的譜方法分為三大類：一是將無界區(qū)域截斷成有界區(qū)域,加上人工邊界條件,再用有界區(qū)域上的譜方法進行求解；二是通過自變量的變換將無界區(qū)域問題變換為有界區(qū)域上的奇異問題,然后用Jacobi譜方法求解：或者將有界區(qū)域上的經典正交多項式映射為無界區(qū)域上的有理正交函數,然后用該有理函數逼近無界區(qū)域問題；三是直接利用無界區(qū)域上的正交多項式或函數逼近無界區(qū)域問題,如經典的Laguerre譜方法和Hermite譜方法。Laguerre譜方法在求解無界區(qū)域問題時具有快速和穩(wěn)定的特點。近年來,該方法的研究取得了諸多進展,如發(fā)展了廣義Laguerre多項式的譜方法和廣義Laguerre函數的譜方法等。但現有的廣義Laguerre譜方法要求參數a一1,這與很多微分方程不匹配,因而極大地限制了其應用范圍�；谏鲜鲈�,本文發(fā)展了帶任意實參數α的廣義Laguerre譜方法,并針對無界區(qū)域上的多種橢圓型邊值問題,構建了全對角化廣義Laguerre譜方法。該方法的最大優(yōu)點在于,其生成的線性代數方程組的系數矩陣是單位陣,條件數為1,而現有的Laguerre譜方法中對應系數矩陣是滿陣或帶狀陣,條件數是按平方量級增長的。本文的結構如下：第一章,介紹譜方法的發(fā)展歷史,同時指出了現有Laguerre譜方法求解無界區(qū)域問題時存在的一些困難和不足,并給出了本文得到的一些主要結果。第二章,定義了帶任意實參數α的廣義Laguerre多項式和廣義Laguerre函數,并建立了其遞推關系、正交性和投影的誤差估計。第三章,針對無界區(qū)域上帶非齊次Dirichlet或Robin邊值條件的二階橢圓型問題,建立了全對角化廣義Laguerre譜方法,并給出了最優(yōu)收斂性結果,數值試驗驗證了該算法的有效性。第四章,針對無界區(qū)域上二維和三維橢圓型方程的對稱問題,建立了全對角化廣義Laguerre譜方法,并給出了最優(yōu)收斂性結果,數值試驗驗證了該算法的有效性。第五章,針對無界區(qū)域上的四階橢圓型邊值問題,建立了全對角化廣義Laguerre譜方法,并給出了最優(yōu)收斂性結果,數值試驗驗證了該算法的有效性。針對外部區(qū)域上二維和三維橢圓型方程的對稱問題,建立了全對角化廣義Laguerre譜方法,數值試驗驗證了該算法的有效性。
[Abstract]:In recent years , the research of spectral method has been widely used in many fields , such as thermal conduction , quantum mechanics , fluid mechanics , numerical weather forecast and financial mathematics . The generalized Laguerre ' s method for generalized Laguerre is established and the optimal convergence results are given . The fourth chapter establishes the generalized Laguerre spectrum method for the generalized Laguerre spectrum and gives the optimal convergence results .

【學位授予單位】：上海師范大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：1393029