發(fā)布時間：2018-01-01 11:17

  本文關鍵詞：基于多項式插值逼近的分數階偏微分方程高精度差分方法　出處：《東南大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

  更多相關文章： 分數階波方程 多項時間分數階導數 Bloch-Torrey方程 非線性時間分數階反應-擴散方程 Caputo導數 Riesz導數 超收斂點 穩(wěn)定性 收斂性

【摘要】：近幾十年來,由于分數階導數具有非局部性質,比整數階導數更適合描述具有記憶和遺傳性質的材料和過程.因此,分數階微分方程更能準確地刻畫許多自然界的現象,得到了越來越多的學者的關注.關于分數階偏微分方程的數值解法無論對工程技術領域還是對數學本身都具有重要的價值.本文主要是在超收斂點處對時間分數階波方程、多項時間分數階波方程、時空分數階Bloch-Torrey方程以及非線性時間分數階四階反應-擴散方程等初邊值問題構造數值解法,并給出相應的理論分析.本文首先研究的是時間分數階波方程的數值解法.對一維和二維時間分數階波方程利用降階法得到等價的方程組,然后利用L2-1σ公式(Alikhanov,J.Comput.Phys.280(2015),424-438)對等價方程組建立時間方向二階精度,空間方向分別為二階和四階精度的有限差分格式.利用離散能量法,嚴格證明了格式在H1范數下的無條件穩(wěn)定性和收斂性.同時還給出了三維時間分數階波方程的差分格式.數值算例驗證了格式的計算精度和有效性.其次,對多項時間分數階波方程建立時間二階精度的有限差分格式.利用降階法得到等價方程組,再對方程組中的多項時間分數階導數在其超收斂點處離散,從而對多項時間分數階波方程分別建立時間和空間方向都為二階精度的差分格式和時間二階、空間四階精度的差分格式.我們證明了兩個格式是唯一可解的,且在最大模下是無條件穩(wěn)定的和收斂的,收斂階分別為O(τ2 + h2)和O(τ2 + h4).數值實驗表明格式的有效性,驗證了差分格式的理論分析精度.隨后,討論了一維和二維時空分數階Bloch-Torrey方程的差分方法.利用L2-1σ公式來離散時間分數階Caputo導數,分別應用分數階二階中心差分格式(C.Celik,M.Duman,J.Comput.Phys.231(2012),1743-1750.)和四階緊算子(X.Zhao,Z.Z.Sun,Z.P.Zhao,SIAM J.Sci.Comput.36(2014),A2865-A2886.)對空間分數階Riesz導數進行逼近,從而對一維和二維Bloch-Torrey方程構造有限差分格式.同時我們給出了分數階二階中心差分算子的權系數和的下界的一個估計式.利用離散能量法以及權系數的下界估計式,我們對格式的穩(wěn)定性和收斂性給出了嚴格的理論證明.對二維問題,我們還給出了兩個ADI格式來求解方程.數值算例驗證了差分格式的有效性.最后一部分考慮了非線性時間分數階四階反應-擴散方程的數值逼近.首先利用降階法,得到一個等價方程組,運用L2-1σ公式對時間Caputo分數階導數進行離散,對空間整數階導數采用二階格式離散,進而構造一個三層線性化的有限差分格式.利用離散能量法,我們給出了格式在L2模下的無條件穩(wěn)定性和收斂性的嚴格的理論證明,收斂階為O(τ2 +h12+h22).對于差分格式的收斂性證明是理論分析的一個難點,我們主要應用二維網格函數空間的一個嵌入定理給出了格式的收斂性分析.數值實驗驗證了格式的理論分析的精度.
[Abstract]:In this paper , the finite difference scheme of time fractional order wave equation is established by means of discrete energy method . The numerical experiments show the validity of the format and verify the theoretical analysis accuracy of the difference scheme . Then , we discuss the difference method of the two - dimensional space - time fractional order ' s ( C . Celik , M . Duman , J . Comput . Phys . 231 ( 2012 ) , 1743 - 1750 . ) and the fourth - order compact operator ( X . Zhao , Z . Z . Sun , Z . P . Zhao , SIAM J . Sci . Comput . 36 ( 2014 ) , A2865 - A2886 . ) . In this paper , we give a rigorous theoretical proof for the stability and convergence of a two - dimensional finite difference scheme by using the discrete energy method and the lower bound estimation formula of the weight coefficients . The convergence of the difference scheme is a difficult problem for the theoretical analysis . We mainly apply one embedding theorem of the two - dimensional grid function space to give the convergence analysis of the format . The numerical experiments verify the accuracy of the theoretical analysis of the format .

【學位授予單位】：東南大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：1364287