本文關(guān)鍵詞：受控的平均場隨機(jī)系統(tǒng)　出處：《山東大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

  更多相關(guān)文章： 平均場隨機(jī)微分方程 弱解 Girsanov變換 依分布唯一 2-人零和隨機(jī)微分對策 鞍點(diǎn)控制 動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理 哈密頓-雅克比-貝爾曼方程 帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程 泊松隨機(jī)測度 值函數(shù)

【摘要】：Skorohod [87], [88]首次構(gòu)造了帶連續(xù)系數(shù)的隨機(jī)微分方程的弱解,此后隨機(jī)微分方程的弱解便得到了廣泛的研究,且在隨機(jī)微分方程理論的發(fā)展中起到了非常重要的作用。上世紀(jì)七十年代,日本和蘇聯(lián)概率學(xué)家將弱解與強(qiáng)解建立了聯(lián)系,在闡述弱解存在性、強(qiáng)解存在性、依分布唯一性及依軌道唯一性之間的關(guān)系上做出了重要貢獻(xiàn)。平均場隨機(jī)微分方程,也稱為McKean-Vlasov方程,在經(jīng)濟(jì)、金融、物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、量子力學(xué)和量子化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。近幾十年,許多學(xué)者研究了平均場隨機(jī)微分方程的弱解。在這些工作中,有很多用經(jīng)典的隨機(jī)微分方程理論中(即不在平均場框架下)的鞅問題方法來研究McKean-Vlasov方程的弱解。本論文研究了以下兩種情況的平均場隨機(jī)微分方程弱解的存在性和依分布唯一性：(i)漂移系數(shù)依賴于解過程和解的分布,以及(ii)漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)均依賴于解的狀態(tài)和解的分布。進(jìn)一步將弱解的存在性、依分布唯一性結(jié)論應(yīng)用到對2-人零和隨機(jī)微分對策的研究中,其中對策的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為受雙重控制的平均場正倒向隨機(jī)微分方程。Pardoux和Peng [75]在1990年首次引入非線性倒向隨機(jī)微分方程,從那時(shí)起,倒向隨機(jī)微分方程理論便被廣泛地應(yīng)用于很多領(lǐng)域,尤其是在金融數(shù)學(xué)、偏微分方程、隨機(jī)最優(yōu)控制以及隨機(jī)微分對策等方面。倒向隨機(jī)微分方程理論發(fā)展迅速,現(xiàn)已成為隨機(jī)分析理論中的一個(gè)非常重要的組成部分�；诜蔷�性倒向隨機(jī)微分方程理論,不同形式的倒向隨機(jī)微分方程也得到了迅速地發(fā)展,例如,平均場倒向隨機(jī)微分方程、解耦的正倒向隨機(jī)微分方程、完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程、及由布朗運(yùn)動(dòng)和泊松跳過程共同驅(qū)動(dòng)的正倒向隨機(jī)微分方程、帶反射的正倒向隨機(jī)微分方程等等。本論文還研究了帶跳的平均場(正)倒向隨機(jī)微分方程、與值函數(shù)耦合的帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性、比較定理,并給出相應(yīng)積分-偏微分方程解的概率解釋。下面將進(jìn)一步詳細(xì)的介紹論文的內(nèi)容及結(jié)構(gòu)。第一章引言主要介紹了論文第二章到第五章中研究的主要問題。在第二章中,我們研究平均場隨機(jī)微分方程,其擴(kuò)散系數(shù)σ(s, X.Λs)關(guān)于解過程X的路徑Lipschitz,且其漂移系數(shù)b(s,X.Λs,QXs)關(guān)于解過程X僅滿足可測,同時(shí)連續(xù)(在1-Wasserstein距離的意義下)依賴于解過程的分布。我們首先證明了上述平均場隨機(jī)微分方程弱解的存在性及依分布唯一性。然后我們將結(jié)論應(yīng)用到對2-人零和隨機(jī)微分對策的研究中,其動(dòng)態(tài)系統(tǒng)由受雙重控制的平均場正倒向隨機(jī)微分方程描述,且狀態(tài)方程的漂移系數(shù)關(guān)于狀態(tài)過程僅滿足可測的條件。在Isaacs條件下,我們證明了推廣鞍點(diǎn)控制的存在性。本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)：首次研究了此類平均場隨機(jī)微分方程弱解的依分布唯一性,并且在Isaacs條件下得到了推廣的鞍點(diǎn)控制。本章基于：LI, J., MIN, H., Weak solutions of mean-field stochastic differential equations and applications to zero-sum stochastic differential games, SIAM J. Control Optim.,已接收。在第三章中,受第二章的啟發(fā),我們進(jìn)一步研究平均場隨機(jī)微分方程的弱解,考慮漂移系數(shù)b(s,Xs,QXs)與擴(kuò)散系數(shù)a(s,Xs,QXs)均依賴于解的狀態(tài)及解的分布的情況。在系數(shù)有界,連續(xù)(關(guān)于測度在2-Wasserstein距離的意義下)條件下,我們借助推廣的局部鞅問題,證明平均場隨機(jī)微分方程弱解的存在性以及解的依分布唯一性。本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)：我們將McKean-Vlasov方程的Ito公式推廣到了更一般的情況；不同于前人的工作,我們首次運(yùn)用推廣的局部鞅問題,研究平均場隨機(jī)微分方程弱解的存在性和依分布唯一性。本章基于：Li, J., MIN, H., The existence and the uniqueness in law of weak solutions of mean-field stochastic differential equations,已投稿。在第四章中,我們主要研究帶泊松跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程。首先,在線性增長和Lipschitz條件下我們得到帶跳的平均場隨機(jī)微分方程解的存在唯一性。然后主要證明了帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性、解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性,以及比較定理。最后證明了解耦的帶跳的平均場正倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性,及相應(yīng)偏微分方程粘性解的存在唯一性。本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)：在帶跳的情況下,研究了平均場(正)倒向隨機(jī)微分方程,并給出相應(yīng)積分-偏微分方程解的概率解釋。本章來自于：Li, J., Min, H., Controlled mean-field backward stochastic differential equations with jumps involving the value function, Journal of Systems Science and Complexity,已接收。受第四章研究內(nèi)容的啟發(fā),第五章主要研究一種全新的帶跳的受控平均場倒向隨機(jī)微分方程,即與相關(guān)控制問題的值函數(shù)耦合的帶跳的受控平均場倒向隨機(jī)微分方程。首先,在一定的Lipschitz條件和線性增長,單調(diào)性條件下運(yùn)用迭代的方法我們證明了上述方程解的存在唯一性以及比較定理。然后我們借助推廣的隨機(jī)倒向半群的概念得到了值函數(shù)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理。最后,我們證明了如此定義的值函數(shù)是相應(yīng)非局部Hamilton-Jacobi-Bellman積分-偏微分方程的粘性解,且在適當(dāng)?shù)倪B續(xù)函數(shù)空間中為唯一的粘性解。本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)：在帶跳的情況下,研究與值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程；采用不同于Peng的倒向半群的方法,更加直接的證明了相應(yīng)Hamilton-Jacobi-Bellman方程粘性解的存在唯一性。本章來自于：Li. J., Min. H., Controlled mean-field backward stochastic differential equations with jumps involving the value function. Journal of Systems Science and Complexity,已接收。以下是本文的章節(jié)目錄及主要結(jié)論。一、第一章引言；二、第二章平均場隨機(jī)微分方程的弱解及在零和隨機(jī)微分對策中的應(yīng)用；三、第三章平均場隨機(jī)微分方程弱解的存在性及依分布唯一性；四、第四章帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程；五、第五章與值函數(shù)耦合的帶跳的受控平均場倒向隨機(jī)微分方程。第二章：我們研究當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)σ(s, XΛs)關(guān)于解過程X的路徑Lipschitz,且漂移系數(shù)b(s,X.Λs.QXs)關(guān)于解過程X僅滿足可測,同時(shí)連續(xù)依賴于解過程的分布(在1-Wasserstein距離的意義下)時(shí)平均場隨機(jī)微分方程的弱解。首先證明上述平均場隨機(jī)微分方程弱解的存在性及依分布唯一性。最后將上述結(jié)論應(yīng)用到對2-人零和隨機(jī)微分對策的研究中。本章我們主要研究如下形式平均場隨機(jī)微分方程,其漂移系數(shù)依賴于解過程的分布：其中(Bt)t∈[0,T]在概率測度Q下為d-維布朗運(yùn)動(dòng),在概率測度Q下初始值Xo獨(dú)立于B,且服從給定的分布μ0。在漂移系數(shù)有界可測,關(guān)于測度模連續(xù),擴(kuò)散系數(shù)有界可測且可逆等假設(shè)條件下,我們研究上述方程弱解的存在性和依分布唯一性。定理2.2.1在假設(shè)條件(H2.2.1)下,對任意給定的μ0∈P1(Rd),且有QX0 =μ0的平均場隨機(jī)微分方程(0.0.1)存在弱解(Ω,F,F,Q,B,X)。定理2.3.1在假設(shè)條件(H2.3.1)下,令(Ωi,Fi, Qi, Bi, Xi), i=1, 2,為平均場隨機(jī)微分方程(0.0.1)的任意兩個(gè)弱解,且有QX011=Q2X20∈P1(Rd)。則(B1,X1)和(B2,X2)在各自的概率測度下有相同的分布,即Q1(B1,X1)=Q2(B2,X2)。有了弱解的存在唯一性,我們將上述結(jié)論運(yùn)用到對2-人零和隨機(jī)微分對策的研究中。任意給定一測度μ0∈P1(Rd)和控制(u,v) ∈U×V,我們考慮如下形式耦合的平均場正倒向隨機(jī)微分方程：其中Qu,v為概率測度,且Bu,v在其下為布朗運(yùn)動(dòng)。我們考慮對策的代價(jià)泛函通過控制u∈u,第一個(gè)競爭者想最小化損失；對于第二個(gè)競爭者上述函數(shù)為其收益函數(shù),通過控制v∈V,第二個(gè)競爭者想最大化收益。為了將方程(0.0.2)寫為別的形式,我們現(xiàn)假定方程(0.0.2)存在弱解(Ω,F,F,P,X, {(Qu,v,Bu,v,Yu,v,Zu,v),(u,v)∈u×v})且有(Ω,F,F,P,X) = (Ω,F,F,P,X)。對任意的(u, v)∈u×V,記由方程(0.0.2),我們可得由Girsanov定理,F的定義及信息流F,可得我們記Lsu,v為Q“v限制在信息流Fs關(guān)于P限制在信息流Fs的密度。因此,應(yīng)用上述討論的Girsanov變換可將方程(0.0.2)改寫為在概率測度P下考慮的系統(tǒng)：其中對于定義則我們有下面一系列結(jié)論。定理2.4.1假設(shè)條件(H2.4.1)成立,在概率空間(Ω,F,F,P,W,X)上,對任意的(u,v)∈u×v,系統(tǒng)(0.0.4)存在弱解其中Bu,v為(F,Qu,v)-布朗運(yùn)動(dòng),且Lsu,v/為Qu,v/Fs關(guān)于P/Fs的密度,s∈[0,T]。對于(t,φ,y,z,v,u,v)∈[0,T]×C([0,T];Rd)×R×Rd×P1(Rd+1)×U×V,我們引入對策的哈密頓函數(shù)本章假設(shè)上述哈密頓函數(shù)滿足Isaacs條件,即對任意的(t,φ,y,z,v)∈[0.T]×C([0,T]; Rd)×R×Rd×P11(Rd+1),有定理2.4.2假設(shè)條件(H2.4.1)和(H2.4.2)成立,則如下系統(tǒng)有解布朗運(yùn)動(dòng),且Ls*為Q*/Fs關(guān)于P/Fs的密度,s∈[0,T]。因此可得在零和微分對策的應(yīng)用中的一個(gè)最重要結(jié)論。定理2.4.3假設(shè)滿足條件(H2.4.1)和(H2.4.3),則對所有的(u,u)∈u×V,方程(0.0.4)的解(Bu,v,Qu,v),(Yu,v,Zu,v)為空間(Ω,F,F,P,W,X)上的唯一解,且為軌道唯一,對應(yīng)于過程(Bu,v,Lu,v,Yu,v,Zu,v)。進(jìn)一步,假設(shè)存在控制(u*,v*)∈u×v使得對所有的(u,v)∈u×v,dtdP-a.e.,對所有的(u,v)∈u×V,有也就是,(u*,v*)為一對推廣的鞍點(diǎn)控制,其中的常數(shù)C僅依賴于系數(shù)b和f。第三章：我們研究當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)σ(s,Xs,Qxs)和漂移系數(shù)b(s,Xs,Qxs)均有界,且不僅連續(xù)依賴于解的狀態(tài)Xs,同時(shí)連續(xù)依賴于解過程的分布(在2.Wasserstein距離的意義下)時(shí)平均場隨機(jī)微分方程的弱解。首先我們將[18]給出的McKean-Vlasov方程的Ito公式推廣到了系數(shù)更一般的情形,進(jìn)一步,借助推廣的局部鞅問題,證明上述平均場隨機(jī)微分方程弱解的存在性及依分布唯一性。受第二章的啟發(fā),本章主要研究如下形式的平均場隨機(jī)微分方程,漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)均依賴于解過程的分布：其中ζ∈L2(Ω,F0,P;Rd),服從給定的分布v=Qζ,且(Bt)t∈[0,T]在概率測度Q下為d-維布朗運(yùn)動(dòng)。本章主要通過研究推廣的局部鞅問題,借助推廣的局部鞅問題解的存在唯一性與平均場隨機(jī)微分方程弱解的存在唯一性之間的等價(jià)性,進(jìn)而研究平均場隨機(jī)微分方程的弱解。首先我們推廣了Buckdahn et al.[18]中給出的McKean-Vlasov方程的Ito公式。定理3.1.1令σ=(σs),γ=(γs)為Rd×d-值,b=(bs),β=(βs)為Rd-值適應(yīng)隨機(jī)過程,使得(i)存在一常數(shù)q6,使得令函數(shù)則對于Ito過程我們有然后,我們引入推廣的局部鞅問題,在研究弱解的存在性和依分布唯一性之前,我們首先考慮平均場隨機(jī)微分方程的弱解與推廣的局部鞅問題的解之間的等價(jià)性,即有：命題3.2.1在B(Rd)上有初始分布v的方程(0.0.9)存在弱解(Ω,F,F,Q,B,X)等價(jià)于,局部鞅問題存在解P,相應(yīng)二階微分算子為A,且有Py(0)=v。則我們可得本章的第一個(gè)重要結(jié)論。定理3.2.1在假設(shè)條件(H3.1.1)下,方程(0.0.9)存在弱解(Ω,F,F,Q,X,B)。下面,我們研究平均場隨機(jī)微分方程弱解的依分布唯一性。定理3.3.1對于給定的考慮Cauchy問題其中假設(shè)Cauchv問題(0.0.13)有解對所有的則對每一P滿足Py(0)=δx,x∈Rd,相應(yīng)于二階微分算子A的局部鞅問題最多有一個(gè)解。推論3.3.1在定理3.3.1的假設(shè)條件下,平均場SDE(0.0.9)弱解依分布唯一,也就是,對于(0.0.9)的任意弱解(Ωi,Fi, Fi, Qi, Bi, Xi), i = 1, 2,我們有Qx11=Q2X2。第四章：在Lipschitz條件下證明了帶泊松跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性及比較定理。同時(shí)給出解耦的帶跳的平均場正倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性及相應(yīng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理。最后,證明由倒向方程的解定義的值函數(shù)是相應(yīng)偏微分方程的唯一粘性解。我們本章討論了三種隨機(jī)微分方程,即帶跳的平均場隨機(jī)微分方程,帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程,及解耦的帶跳的平均正倒向隨機(jī)微分方程。本章我們主要研究的是如下帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程：其中0≤t≤T。在Lipschitz條件下,借助不動(dòng)點(diǎn)定理即可得到方程(0.0.14)解的存在唯一性,即定理4.3.1在假設(shè)條件(H4.3.2)下,對任意給定的隨機(jī)變量ζ∈L2(Ω,FT, P),方程(0.0.14)存在唯一的適應(yīng)解進(jìn)一步,借助經(jīng)典帶跳的倒向隨機(jī)微分方程的比較定理,我們可得定理4.3.2(比較定理)設(shè)h: Ω×[0, T]×R×Rd×R是可測并且滿足(i)存在一常數(shù)C0使得,對所有的t∈ [0, T], y1, y2∈R, z1,z2 ∈Rd, ki, k2∈R, P-a.s., |h(t, y1,z1, k1)-h(t,y2, z2, k2)|≤C(|y1-y2|+|z1-z2|+|k1-k2|_);(ⅱ) h(·,0,0,0)∈HF2(0, T;R);(ⅲ) k→h(t,y,z,k)為非遞減的,對所有的(t,y,z) ∈[0, T]×R×Rd;進(jìn)一步,設(shè)lΩ2×[0, T]×E為P(?)B(E)可測,l(·,·,e)為F-可料,對所有的e ∈E,且令l滿足0≤lt(e) C(1Λ|e|), e∈ E.設(shè)fi = .fi(ω, t,y',z',k',y,z,k), i = 1,2,為帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)系數(shù),并且對[0,T]×Ω×R×Rd×L2(E, B(E),λ; R);f2滿足假設(shè)(H4.3.2)。此外,我們假設(shè)：(i)兩個(gè)系數(shù)之一不依賴于z'；(ii)兩個(gè)系數(shù)之一不依賴于k';(iii)兩個(gè)系數(shù)之一關(guān)于y'非遞減。設(shè)ζ1,ζ2∈L2(Ω,FT,P),記(Y1,Z1,K1)和(Y2,Z2,K2)分別為對應(yīng)參數(shù)為(ζ1,f1)和(ζ2,f2)的帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程的解。則,如果ζ1≤ζ2, P-a.s.,和f1≤f2,P-a.s.,我們有Yt1≤Yt2,t∈[0,T],P-a.s.現(xiàn)在我們考慮如下隨機(jī)場：其中Yt,z為倒向方程的解�？紤]如下偏微分方程：其中函數(shù)b,σ,γ,f和Φ滿足假設(shè)條件(H4.2.1),(H4.4.1)和(H4.4.2)。下面我們給出本章的重要結(jié)論。定理4.5.1(存在性)在假設(shè)條件(H4.2.1),(H4.4.1)和(H4.4.2)下,由(0.0.15)定義的值函數(shù)u(t,x)為方程(0.0.16)的粘性解。定理4.5.2(唯一性)在假設(shè)條件(H4.2.1),(H4.4.1)和(H4.4.2)下,在(?)中,由(0.0.15)定義的值函數(shù)u(t,x)為方程(0.0.16)的唯一粘性解。第五章：運(yùn)用逼近的方法,在Lipschitz、線性增長和一定的有界條件下,證明了與值函數(shù)耦合的帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性及比較定理。借助推廣的隨機(jī)倒向半群,我們得到了值函數(shù)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理。此外,我們證明了在適當(dāng)?shù)倪B續(xù)函數(shù)空間中,值函數(shù)為相應(yīng)的非局部Hamilton-Jacobi-Bellman型積分-偏微分方程的唯一粘性解。我們主要研究如下與相關(guān)控制問題的值函數(shù)耦合的帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程：為了證明上述方程解的存在性,我們運(yùn)用迭代的方法首先考慮如下方程：設(shè)迭代首項(xiàng)(Yt,x;v,0,Zt,x;v,0,Kt,x;v,0)=(0, 0, 0),對于t∈ [0,T],x∈Rn,v∈Vt,T,則有引理5.2.1對所有的m≥1,方程(0.0.18)存在唯一解η。而且,Wm :Ω× [O,T]×~Rn→R唯一可測隨機(jī)場,使得(i)Wm(i,x)為Ft-可測,(t,x)∈[0,T]×Rn;(ii)存在一不依賴于m的常數(shù)C0,使得,P-a.s.,對所有的t∈[0,T], x,x∈Rn,有(1) |Wm(t,x~)-Wm(t,x)|≤C|x-x|; (2) |Wm(t,x)|≤C(1+|x|).則在上述引理的幫助下,我們可得本章的重要結(jié)論。定理5.2.1在假設(shè)條件(H5.1.1)和(H5.2.1)下,與值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程(0.0.17)存在唯一解且有同時(shí)存在隨機(jī)場W[0,T]×ΩRn→R,使得進(jìn)一步,值函數(shù)W滿足(i)W(t,x)為Ft-可測,(t,x)∈[0, T]× Rn; (0.0.19)(ⅱ)+W(t,x)-W(t,x)_≤C|x-x|, P-a.s., (t,x), (t,x)∈[0, T]× ]Rm; (0.0.20)(ⅲ)|W(t,x)|≤C(1+|x|), P-a.s., (t,x) ∈[0,T]×]Rn, (0.0.21)對某一常數(shù)C0。定理5.3.1(比較定理)設(shè)fi=fi(t,x',x,y',y,z,k,v)為與值函數(shù)耦合的帶跳的平均場倒向隨機(jī)微分方程的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)系數(shù),且其滿足假設(shè)條件(H5.2.1)和(H5.3.1),同時(shí)設(shè)相對應(yīng)的終端值分別為ζi∈L2(Ω, FT, P), i = 1,2。對i=1,2,我們記為如下與值函數(shù)耦合的帶跳的倒向隨機(jī)微分方程的解：若ζ1≥ζ2, P-a.s.,和f1≥f2,則我們有Ys1,t,x;v≥Ys2,t,x;v,P-a.s.,s∈[t,T],v∈Vt,T.進(jìn)一步,我們有w1(t,x)≥W2(t,x), P-a.s., (t,x)∈ [0,T]×Rn。定理5.4.1在假設(shè)條件(H5.1.1)和(H5.2.1)下,對所有的(t,x)∈ [0, T]×Rn,0≤ tT-δ, P-a.s.,我們有本章最后,我們考慮如下非線性積分-偏微分方程：其中DW和D2W分別為W關(guān)于z的梯度和Hessian矩陣。則有如下粘性解的存在唯一性結(jié)論。定理5.5.1(存在性)在假設(shè)條件(H5.1.1)和(H5.2.1)下,由定理5.2.1中方程(0.0.17)給定的值函數(shù)W∈Cp([0,T]×Rn)為方程(0.0.23)的粘性解。定理5.5.2(唯一性)在集合(?)中,方程(0.0.23)有唯一的粘性解,即為值函數(shù)w。
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【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O211.63
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本文編號(hào)：1358090