本文關(guān)鍵詞：圖的譜理論及其相關(guān)問題的研究　出處：《蘭州大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：圖的譜是指與其相關(guān)矩陣的所有特征根及其重?cái)?shù)構(gòu)成的集合,它是特定組合結(jié)構(gòu)的特有屬性,往往能給出圖的一些深刻的結(jié)論.圖譜理論是代數(shù)圖論重要研究課題之一,圖譜理論的研究不僅促進(jìn)和豐富了圖論、組合學(xué)以及相關(guān)學(xué)科的研究,而且在信息科學(xué)、圖像處理、壓縮感知、量子化學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)、網(wǎng)絡(luò)以及信息技術(shù)、集成電路設(shè)計(jì)中均有廣泛的應(yīng)用.特別地,圖的能量,圖的譜的冪和,圖的Kirchhoff指標(biāo),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)游走等與圖的譜緊密相關(guān).本文主要研究了圖的譜計(jì)算,圖的正規(guī)Laplacian特征值冪和的估計(jì),圖的無符號Laplacian特征值冪和的估計(jì),圖的關(guān)聯(lián)能量的極值,復(fù)合圖的電阻距離和Kirchhoff指標(biāo).全文共分五章,具體研究內(nèi)容如下:第一章首先介紹了本文用到的一些基本概念、術(shù)語和記號,其次,介紹了與圖譜相關(guān)問題的研究背景和研究進(jìn)展,最后介紹了本文的主要結(jié)果.第二章首先給出了帶有口袋的圖的鄰接特征多項(xiàng)式,Laplacian特征多項(xiàng)式,無符號Laplacian特征多項(xiàng)式及其相應(yīng)的特征值.其次,構(gòu)造了兩類新的冠圖:基于Q-運(yùn)算的Q-點(diǎn)鄰接冠圖和Q-邊鄰接冠圖,給出了它們的鄰接(Laplacian,無符號Laplacian)譜;此外,給出了一類圖是鄰接(Laplacian,無符號Laplacian)整譜圖的充分必要條件.第三章主要研究圖的正規(guī)的Laplacian特征值的冪和和無符號Laplacian特征值冪和.圖的特征值的冪和是指圖的所有特征值的α-次冪的和,其中α是一個(gè)非零實(shí)數(shù).首先,對一般圖給出了圖的正規(guī)Laplacian特征值的冪和的一些新的上、下界,作為應(yīng)用,給出了乘法度Kirchhoff指標(biāo)的一些新的界.同時(shí),給出了一般圖的無符號Laplacian特征值的冪和的一些新的上界和下界.第四章主要刻畫了在所有給定具有固定連通度和邊連通度的圖中,圖的關(guān)聯(lián)能量的極大圖.我們運(yùn)用著名的Coulson積分公式,圖G的剖分圖的特征多項(xiàng)式,無符號Laplacian特征多項(xiàng)式和關(guān)聯(lián)能量之間的關(guān)系,證明了在所有具有固定連通度和邊連通度的圖中,Kκ∨(K1∪Kn-κ-1)的關(guān)聯(lián)能量最大.第五章主要研究了若干圖的電阻距離和Kirchhoff指標(biāo).利用Laplacian矩陣的廣義逆,我們首先給出了冠圖和邊冠圖的任意兩點(diǎn)間電阻距離,并在此基礎(chǔ)上得到了它們的Kirchhoff指標(biāo)公式.在文章[117]中,給出了剖分點(diǎn)-邊冠圖GS1?(GV2∪GE3)的A-譜,L-譜和Q-譜,但是Kf((GS1?(GV2∪GE3))的表達(dá)式有些復(fù)雜,繼續(xù)運(yùn)用分塊矩陣的廣義逆給出了剖分點(diǎn)-邊冠圖的任意兩點(diǎn)間的電阻距離和Kirchhoff指標(biāo).接著,對剖分點(diǎn)-邊冠圖這種圖運(yùn)算做了更進(jìn)一步的推廣,將運(yùn)算中拷貝相同的圖推廣到和不相同的圖做點(diǎn)冠圖運(yùn)算和邊冠圖運(yùn)算,即廣義剖分點(diǎn)冠圖和廣義剖分邊冠圖,給出了它們的電阻距離和Kirchhoff指標(biāo).最后,對于正則圖G1和任意圖G2,建立了它的合成圖:基于R-的點(diǎn)冠圖和邊冠圖,G1ΘRG2和G1⊙RG2的Laplacian特征多項(xiàng)式與“原圖”G1和G2的Laplacian特征多項(xiàng)式之間的聯(lián)系,并在此基礎(chǔ)上得到G1⊙RG2和G1ΘRG2Kirchhoff指標(biāo)公式.
[Abstract]:In chapter 1 , we present some basic concepts , terms and symbols of graphs . In this paper , we use the well - known coulson integral formula , the characteristic polynomial of the subdivision graph of FIG . G , the characteristic polynomial of the unsigned Laplacian characteristic polynomial and the correlation energy .

【學(xué)位授予單位】：蘭州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O157.5

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本文編號：1357430