本文關(guān)鍵詞：復(fù)雙曲空間上等距子群的離散性　出處：《湖南大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：復(fù)雙曲幾何與黎曼幾何、接觸幾何、李群理論、調(diào)和分析以及代數(shù)幾何等有著緊密的聯(lián)系,是復(fù)分析領(lǐng)域的一個(gè)重要研究對(duì)象.復(fù)雙曲幾何理論的研究開始于十九世紀(jì)末.盡管它與實(shí)雙曲幾何理論幾乎一起產(chǎn)生,但由于復(fù)雙曲空間上豐富的結(jié)構(gòu),使得它比實(shí)雙曲幾何理論的發(fā)展緩慢的多.直到Chen和Greenberg首先研究了秩為1的對(duì)稱空間,以及Mostow構(gòu)造了作用在復(fù)雙曲空間上的非算術(shù)格后,越來越多的學(xué)者開始對(duì)復(fù)雙曲幾何理論進(jìn)行研究.Epstein, Toledo, Goldman, Schwartz, Parker, Falbel和Zocca, Deraux等做了大量的工作.他們推動(dòng)了該領(lǐng)域的發(fā)展,并且激發(fā)了更多年輕學(xué)者的研究興趣.本文的主要目的是討論復(fù)雙曲平面上等距子群離散的必要條件,二元生成子群離散的充分條件和復(fù)雙曲平面中等距元素的C-分解性.在第一章中,我們首先對(duì)復(fù)雙曲幾何的發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀做了簡(jiǎn)單的綜述.然后介紹了本文的主要內(nèi)容和創(chuàng)新點(diǎn).最后給出了在全文中經(jīng)常用到的一些記號(hào)說明.第二章,我們回顧了復(fù)雙曲幾何的基礎(chǔ)知識(shí).我們首先介紹了二維復(fù)雙曲空間常用的兩個(gè)模型及Cygan度量,其中Cygan球的凸性在第三章離散準(zhǔn)則的證明中起了重要的作用.然后,我們介紹了復(fù)雙曲平面的四種不同的全測(cè)地子空間：點(diǎn),測(cè)地線,復(fù)線與R-平面.最后,我們給出了拓?fù)淙号c離散群的定義,并且對(duì)復(fù)雙曲等距變換進(jìn)行了詳細(xì)的分類.復(fù)雙曲空間上等距子群離散性問題一直以來深受廣大學(xué)者重視.在第三章中,我們主要研究了PU(2,1)(即復(fù)雙曲平面的全純等距群)中包含螺旋拋物元素的子群離散的必要條件,也就是Shimizu引理的推廣.首先我們回顧了螺旋拋物元素的基本性質(zhì).然后利用Margulis區(qū)域的幾何知識(shí)構(gòu)造邊界函數(shù)Bg(r).接下來,運(yùn)用連分式相關(guān)理論給出了邊界函數(shù)Bg(r)的一致上界,從而得到在子群�！拮饔孟戮_不變的區(qū)域.最后根據(jù)Margulis區(qū)域的性質(zhì)和Cygan球的凸性證明了本章的離散準(zhǔn)則.復(fù)雙曲空間上等距子群離散性問題與三角群聯(lián)系密切.三角群是由三個(gè)對(duì)合元素生成的群.復(fù)雙曲空間上的等距變換中有三種對(duì)合元素,一種是關(guān)于復(fù)線的2階復(fù)反射,簡(jiǎn)稱復(fù)對(duì)稱；一種是關(guān)于復(fù)雙曲空間中點(diǎn)的2階復(fù)反射；另一種是關(guān)于R-平面的2階反射,簡(jiǎn)稱拉格朗日反射.在第四章中,我們研究了PU(2,1)中一個(gè)拋物元素和一個(gè)橢圓元素分別可以分解成兩個(gè)復(fù)對(duì)稱乘積的條件,即等距元素的C-強(qiáng)可逆性.接著我們引入C-分解性,我們稱一對(duì)等距元素(A,B)具有C-分解的性質(zhì),也就是A=I1I2,B=I2I3,其中I1,I2,I3都是復(fù)對(duì)稱.最后,我們分別給出了一對(duì)拋物元素和一對(duì)橢圓元素可以C-分解的條件.此外,我們也得到了一個(gè)斜駛元素和一個(gè)拋物元素具有C-分解性的條件,第五章中,我們主要研究了PU(2,1)中二元生成子群離散的充分條件,其中我們要求這兩個(gè)生成子可以C-分解.并且我們把這個(gè)結(jié)果推廣到多元生成子群.利用兩個(gè)生成子的C-分解性,我們把研究二元生成子群的離散性問題轉(zhuǎn)化為判斷相對(duì)應(yīng)的三角群的離散性.然后我們介紹了等分面(bisector)的相關(guān)概念,定義了NSD/TB群,再結(jié)合Klein組合定理,由此得到本章的離散判別準(zhǔn)則.最后我們舉例說明了此離散判別準(zhǔn)則的可行性.
【學(xué)位授予單位】：湖南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O174.5

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7 周U，

本文編號(hào)：1330109