本文關(guān)鍵詞：非對稱鞍點問題的松弛型預(yù)處理子　出處：《上海大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：在流體力學(xué)、帶有限制條件的二次優(yōu)化問題及電磁學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域中,對所研究問題進行線性化及有限元(有限差分)離散處理后,通常都會歸結(jié)為同一類大型稀疏線性方程組—鞍點問題的求解.對于鞍點問題的求解方法主要包括直接法和迭代方法兩種.但是直接法在求解大規(guī)模稀疏系統(tǒng)時,會產(chǎn)生“填充”現(xiàn)象,運算量比較大.而迭代方法雖然在鞍點問題的求解中發(fā)揮了舉足輕重的作用,但是對于像鞍點問題這樣具有大規(guī)模系數(shù)矩陣的方程組而言,在實際計算過程中要經(jīng)過很多步迭代才能收斂.因此,近年來對鞍點問題的求解,都是考慮采用預(yù)處理技術(shù).本論文在潘建瑜等人2006年提出的DPSS預(yù)處理子的基礎(chǔ)上,提出了求解非對稱鞍點問題的三種松弛型預(yù)處理子,并給出了相應(yīng)的理論成果及數(shù)值實驗,具體研究工作可概括如下：1. DPSS預(yù)處理子是求解非對稱鞍點問題的有效預(yù)處理子.由它進行預(yù)處理的鞍點問題,當(dāng)選取合適迭代參數(shù)時,系數(shù)矩陣的特征值將趨于原點和(2,0).本文通過刪除DPSS預(yù)處理子差矩陣的第一個分解矩陣中的一個對角位移項,而得到求解非對稱鞍點問題的VDPSS預(yù)處理子.相比較DPSS預(yù)處理子,VDPSS預(yù)處理子更加貼近原鞍點問題的系數(shù)矩陣.且由該預(yù)處理子預(yù)處理的系數(shù)矩陣一定會有n個特征值為1.本論文不僅從理論上分析了預(yù)處理方程組的Krylov子空間情況,還通過數(shù)值實例來驗證VDPSS預(yù)處理子在特征值分布、迭代步數(shù)以及CPU時間方面的優(yōu)越性.2.通過直接刪除DPSS預(yù)處理子和原鞍點問題系數(shù)矩陣的差矩陣中一個位移項,本文提出了求解非對稱鞍點問題的第二種松弛型預(yù)處理子,即RDPSS預(yù)處理子.文中不僅證明了預(yù)處理后系數(shù)矩陣也具有n個特征值為1,還分析了在迭代參數(shù)趨于0和+∞時預(yù)處理后系數(shù)矩陣的剩余特征值均趨于0.更重要的是本文還證明了RDPSS預(yù)處理子對應(yīng)的迭代方法無條件收斂,且對預(yù)處理后方程組的Krylov子空間情況也進行了分析.數(shù)值實例表明,RDPSS預(yù)處理子無論是從特征值分布方面,還是迭代步數(shù),亦或是CPU時間方面,都能更加有效求解鞍點問題,且該預(yù)處理子對迭代參數(shù)的敏感性不強.3.由于DPSS預(yù)處理子與原鞍點問題系數(shù)矩陣的差矩陣中存在平衡α和a-1的問題,本文在前兩種松弛型預(yù)處理子的基礎(chǔ)上將差矩陣中對角線上的位移項全部換為零矩陣,提出了求解非對稱鞍點問題的一種新的松弛型預(yù)處理子.該種新松弛型預(yù)處理子避免了需要在α和α-1之間平衡選擇a.并且本文還證明了對應(yīng)迭代方法的無條件收斂性,分析了預(yù)處理后系數(shù)矩陣特征值的分布情況,且理論上得出了保證迭代收斂最快的最優(yōu)參數(shù)的選取.本文還對預(yù)處理后系數(shù)矩陣的特征向量的結(jié)構(gòu)進行了分析,因為迭代方法的收斂速度不僅和譜性質(zhì)有關(guān),還與特征向量結(jié)構(gòu)有關(guān).針對計算過程中需要求解系數(shù)矩陣中含有A-1的方程組,文中提出了一種有效的非精確近似計算方法.數(shù)值實驗表明該新松弛型預(yù)處理子相比其他松弛型預(yù)處理子在求解非對稱鞍點問題時更加有效.其非精確近似計算方法雖然在迭代步數(shù)上增加了,但是CPU時間卻大大減少了,因此是新松弛型預(yù)處理子的一個有效近似.
【學(xué)位授予單位】：上海大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.6

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本文編號：1317258