本文關(guān)鍵詞：守恒型分裂—區(qū)域分解格式的方法和理論及其在多孔介質(zhì)中多組分污染問題的應(yīng)用

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【摘要】：近年來,由于工業(yè)廢水,農(nóng)業(yè)灌溉和生活用水的大量排放,已經(jīng)造成地下水污染.因此,涌現(xiàn)出大量地下水污染問題的研究工作(見[11,16,31,35,52,74,76,79,80,84,102,103]等).在組分污染問題中,組分的運(yùn)移不僅僅受達(dá)西速度,分子擴(kuò)散和機(jī)械彌散的影響,還要受到組分間的化學(xué)反應(yīng)影響.一般而言,組分間的化學(xué)反應(yīng)分為動(dòng)力控制溶解-沉淀反應(yīng)(見[12,19,38,39,44,49,56,63,64,70,78]等)和化學(xué)平衡反應(yīng)(見[14,45,51,65,96,97]等),例如：絡(luò)化反應(yīng),氧化-還原反應(yīng),離子交換及氣體的溶解-解析反應(yīng)等.模擬地下水中多組分運(yùn)移模型(見[18,64,71]等)需要求解耦合的非線性偏微分方程組(描述水頭的拋物型方程和描述多組分濃度的對(duì)流擴(kuò)散方程等).數(shù)值方法(有限元,有限差分等)(見[9,10,30,40,48,50,77,89,98,100,102,103]等)是一種非常有力的工具.由于偏微分方程組的耦合性和非線性,研究區(qū)域規(guī)模大和計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)等原因,開發(fā)求解地下水中耦合的水頭和多組分濃度方程組的質(zhì)量守恒型的區(qū)域分解的有效數(shù)值方法是非常重要的.區(qū)域分解方法(見[1,2,3,4,15,27,32,72,85,91]等)把一個(gè)大區(qū)域分成多個(gè)小子區(qū)域,然后在每個(gè)小子區(qū)域上同時(shí)求解偏微分方程組,從而有效地進(jìn)行并行計(jì)算.一般分為重疊區(qū)域分解(見[33,60,61,85,94]等)和非重疊區(qū)域分解(見[5,20,21,24,25,26,32,53,55,57,82,83,101,108,110]等).由于非重疊區(qū)域分解在每步時(shí)間間隔上具有計(jì)算量小和通信時(shí)間短的優(yōu)勢(shì),求解拋物型方程的非迭代的顯隱非重疊區(qū)域分解方法已取得重要成果.[20,53]提出了混合格式,即首先通過顯格式計(jì)算子區(qū)域的內(nèi)邊界,然后通過隱格式計(jì)算子區(qū)域的內(nèi)解.為改善穩(wěn)定性條件,[26]進(jìn)一步提出了求解拋物型方程的顯隱區(qū)域分解(EIDD)方法.首先利用時(shí)間多步法或空間高階格式計(jì)算內(nèi)邊界,然后通過隱式計(jì)算子區(qū)域內(nèi)解.通過引入隱式校正,[83,110]得到求解二維拋物型方程的無條件穩(wěn)定顯隱區(qū)域分解算法.[83]提出了二維拋物型方程校正的顯隱區(qū)域分解算法(CEIDD),并給出了“Z”字型區(qū)域分解上的理論分析.[82]提出了求解二維拋物方程的時(shí)間三層格式的區(qū)域分解算法.即首先通過時(shí)間外推計(jì)算子區(qū)域的內(nèi)邊界點(diǎn),然后通過隱格式計(jì)算子區(qū)域內(nèi)解,最后通過隱格式校正內(nèi)邊界點(diǎn).近來,通過結(jié)合非重疊塊狀區(qū)域分解和算子分裂技巧,[57]提出了一種有效的塊狀區(qū)域分解上求解高維拋物型方程的分裂-區(qū)域分解方法(S-DDM)即通過時(shí)間多步顯式計(jì)算內(nèi)邊界點(diǎn),其次通過一維算子分裂隱格式計(jì)算子區(qū)域內(nèi)解.針對(duì)對(duì)流擴(kuò)散問題,[108]提出了求解二維變系數(shù)對(duì)流擴(kuò)散方程的時(shí)間三層的區(qū)域分解算法.[55]提出了求解帶狀區(qū)域的對(duì)流擴(kuò)散方程的區(qū)域分解算法.即通過顯式迎風(fēng)格式計(jì)算內(nèi)邊界點(diǎn),其次通過隱式修正迎風(fēng)格式計(jì)算內(nèi)邊界點(diǎn).通過結(jié)合非重疊塊狀區(qū)域分解,算子分裂和一階迎風(fēng)格式,[25]提出了一種時(shí)間多步的迎風(fēng)分裂-區(qū)域分解方法(S-DDM)求解對(duì)流擴(kuò)散方程.但是,以上的區(qū)域分解算法[20,24,25,26,53,55,57,82,83,108,110]都不滿足質(zhì)量守恒這一重要的物理定律.保持質(zhì)量守恒的區(qū)域分解算法尤其在求解空間規(guī)模大和計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)的問題中是非常重要的.[21]提出了求解一維和二維帶狀區(qū)域分解拋物型方程的守恒型區(qū)域分解算法.即首先通過加權(quán)算子計(jì)算內(nèi)邊界通量,然后通過隱格式計(jì)算子區(qū)域內(nèi)解.此格式是條件穩(wěn)定,且給出的二維帶狀區(qū)域分解上的誤差估計(jì)非最優(yōu).[109]提出了求解一維常系數(shù)拋物型方程的質(zhì)量守恒型區(qū)域分解算法.盡管此格式滿足質(zhì)量守恒和無條件穩(wěn)定的特點(diǎn),但是它不能求解二維塊狀區(qū)域分解的拋物型方程.格式[21,109]受到一維和二維帶狀區(qū)域分解的嚴(yán)格限制,因此,研究塊狀區(qū)域分解上的守恒型區(qū)域分解算法是一項(xiàng)非常具有挑戰(zhàn)和實(shí)際意義的工作.全文分為四章.結(jié)構(gòu)如下在第一章中,我們研究了帶有Neumann邊界條件的拋物型方程的質(zhì)量守恒型分裂-區(qū)域分解方法.拋物型方程常被用來模擬地下水的水頭,油藏中的壓力,熱傳導(dǎo)中的溫度等.由于研究和開發(fā)實(shí)際問題的規(guī)模大,計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)和計(jì)算存儲(chǔ)量大,質(zhì)量守恒的區(qū)域分解方法求解拋物型方程是非常需要的.在非重疊塊狀區(qū)域分解上,通過結(jié)合算子分裂技巧和解和通量在交錯(cuò)網(wǎng)格上的耦合性技術(shù),我們提出和分析了求解二維塊狀區(qū)域分解的拋物型方程的質(zhì)量守恒型分裂-區(qū)域分解方法(S-DDM).分割計(jì)算區(qū)域?yàn)槎鄠�(gè)非重疊的塊狀子區(qū)域,在每個(gè)塊狀子區(qū)域上,我們采用兩步法計(jì)算內(nèi)解和通量.第一步,首先通過半隱交界面通量格式(顯格式)計(jì)算子區(qū)域x-方向內(nèi)邊界中間層通量,然后通過x-方向分裂解和通量的耦合隱格式計(jì)算子區(qū)域內(nèi)解和通量,再校正計(jì)算交界面的通量.第二步,通過半隱交界面通量格式(顯格式)計(jì)算子區(qū)域y-方向內(nèi)邊界中間層通量,其次通過y-方向分裂解和通量的耦合隱格式計(jì)算子區(qū)域內(nèi)解和通量,然后校正計(jì)算新層交界面的通量.所提出的質(zhì)量守恒的S-DDM格式不僅具有非重疊區(qū)域分解,算子分裂和無條件穩(wěn)定的優(yōu)勢(shì),更重要的是格式滿足質(zhì)量守恒.由于采用算子分裂和非重疊塊狀區(qū)域分解,分析格式的穩(wěn)定性和收斂性具有挑戰(zhàn)性.通過推導(dǎo)一些關(guān)于內(nèi)邊界上數(shù)值通量的輔助性引理,定義中間層精確解和利用矩陣?yán)碚?我們證明了質(zhì)量守恒的S-DDM格式是無條件穩(wěn)定.證明了格式滿足質(zhì)量守恒,并給出格式的誤差估計(jì).數(shù)值算例驗(yàn)證理論分析.在第二章中,我們研究了二維對(duì)流擴(kuò)散方程的守恒區(qū)域分解算法.對(duì)流擴(kuò)散方程常被用來描述諸如熱量傳輸.組分質(zhì)量運(yùn)移,氣溶膠運(yùn)動(dòng)等現(xiàn)象.眾所周知,在實(shí)際應(yīng)用中,由于對(duì)流項(xiàng)占優(yōu)導(dǎo)致偏微分方程雙曲特性,采用標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式會(huì)引起數(shù)值震蕩.對(duì)于對(duì)流擴(kuò)散問題,雖已有顯隱區(qū)域分解方法的研究工作[25,55,108].但是這些區(qū)域分解算法都不滿足質(zhì)量守恒.至今未見到求解對(duì)流擴(kuò)散方程的質(zhì)量守恒區(qū)域分解方法的文獻(xiàn).我們結(jié)合二階修正迎風(fēng)技巧和解和通量的耦合格式,首次提出了求解二維塊狀區(qū)域分解的對(duì)流擴(kuò)散方程的質(zhì)量守恒的修正迎風(fēng)分裂-區(qū)域分解方法(S-DDM)在每個(gè)子塊狀區(qū)域上,我們采用兩步法計(jì)算最終的解和通量.在第一個(gè)時(shí)間半步?首先通過修正的半隱通量格式計(jì)算子區(qū)域x-方向中間層內(nèi)邊界通量,再通過x-方向分裂的解和通量的耦合修正迎風(fēng)隱格式計(jì)算子區(qū)域內(nèi)解和x-方向通量,然后校正計(jì)算中間層內(nèi)邊界通量.在第二個(gè)時(shí)間半步,通過修正的半隱通量格式計(jì)算子區(qū)域x-方向中間層內(nèi)邊界通量,其次通過y-方向分裂的解和通量的耦合修正迎風(fēng)隱格式計(jì)算子區(qū)域內(nèi)解和y-方向通量,最后校正計(jì)算新層內(nèi)邊界通量.我們證明了所提出的格式滿足質(zhì)量守恒,證明格式是無條件穩(wěn)定,進(jìn)一步分析得到誤差估計(jì).通過數(shù)值算例驗(yàn)證格式質(zhì)量守恒性,收斂性和并行性.我們提出的修正迎風(fēng)S-DDM格式不僅具有塊狀區(qū)域分解,算子分裂,二階精度和無條件穩(wěn)定.而且成功地克服了格式[25,55,108]不滿足質(zhì)量守恒的嚴(yán)重問題.在第三章中,我們分析了擴(kuò)散系數(shù)依賴于時(shí)間和空間的變系數(shù)拋物型方程的一類質(zhì)量守恒型區(qū)域分解方法.通過結(jié)合內(nèi)邊界加權(quán)平均差分格式和x-方向和y-方向的分裂技巧,我們提出和分析了帶有反應(yīng)項(xiàng)的變系數(shù)拋物型方程的非重疊塊狀區(qū)域分解上的一類質(zhì)量守恒型S-DDM格式.在每個(gè)時(shí)間間隔上,采用分?jǐn)?shù)步算子分裂格式計(jì)算塊狀子區(qū)域的內(nèi)解.首先通過多步加權(quán)平均差分格式計(jì)算x-方向內(nèi)邊界通量,然后通過x-方向分裂隱式計(jì)算子區(qū)域的中間層內(nèi)解和x-方向通量.同樣,沿y-方向計(jì)算新時(shí)刻的解和y-方向通量.我們證明所提出的內(nèi)邊界加權(quán)平均差分的分裂-區(qū)域分解格式滿足全局質(zhì)量守恒,并證明格式是弱條件穩(wěn)定.我們分析了格式的收斂性并給出離散L2范數(shù)下的最優(yōu)誤差估計(jì)O)(△t+hx2+hy2+Hx2/5Hy5/2)數(shù)值算例驗(yàn)證格式收斂性,質(zhì)量守恒性,穩(wěn)定性和并行有效性.我們提出的變系數(shù)拋物型方程的質(zhì)量守恒型S-DDM格式成功地克服了格式[21,109]僅在二維帶狀區(qū)域分解上的的限制條件.在第四章中,我們研究了質(zhì)量守恒的區(qū)域分解方法在多孔介質(zhì)中地下水多組分污染問題中的應(yīng)用.描述地下水多組分污染問題的數(shù)學(xué)模型是由一族耦合非線性偏微分方程組構(gòu)成(描述水頭的拋物型方程和描述多組分污染物濃度的對(duì)流擴(kuò)散方程).由于實(shí)際應(yīng)用中地質(zhì)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,研究區(qū)域規(guī)模大和計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)等原因.開發(fā)一種有效求解地下水多組分污染問題的質(zhì)量守恒型的區(qū)域分解方法是非常重要的.結(jié)合非重疊塊狀區(qū)域分解,算子分裂技巧和解和通量在交錯(cuò)網(wǎng)格上的耦合性,在每個(gè)時(shí)間間隔上采用兩步法依次提出求解非重疊塊狀區(qū)域分解上的水頭和污染物組分濃度的質(zhì)量守恒型S-DDM迭代算法.第一步,首先通過半隱通量格式(顯格式)計(jì)算水頭的內(nèi)交界面通量,其次通過一維算子分裂解和通量耦合的隱格式計(jì)算水頭內(nèi)解和通量.第二步,利用已得的水頭和線性化濃度法,計(jì)算x-方向和：-方向的達(dá)西速度.第三步.結(jié)合修正迎風(fēng)技巧和定義新的守恒通量,提出求解污染物組分濃度方程的質(zhì)量守恒的修正迎風(fēng)S-DDM格式.我們所提出的迭代逼近不但具有非重疊塊狀區(qū)域分解和算子分裂的優(yōu)勢(shì),而且保持質(zhì)量守恒.數(shù)值算例驗(yàn)證格式質(zhì)量守恒,收斂階,穩(wěn)定性和并行有效性.我們模擬了在不同情形下污染物組分Ca2+,CO32-,Cl-和Na+間的沉淀反應(yīng)(CaCO3沉淀)和輸運(yùn)情況.模擬了污染物HCl流經(jīng)含有CaCO3鹽和MgCO3鹽的多孔介質(zhì)時(shí),與其發(fā)生溶解反應(yīng)產(chǎn)生新污染物Ca2+,Mg2+和弱酸H2C03的過程.實(shí)驗(yàn)表明所提出的守恒型區(qū)域分解方法很好的在塊狀區(qū)域分解上模擬了多孔介質(zhì)多組分污染問題.
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：1270512