本文關鍵詞：守恒型分裂—區(qū)域分解格式的方法和理論及其在多孔介質中多組分污染問題的應用

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【摘要】：近年來,由于工業(yè)廢水,農業(yè)灌溉和生活用水的大量排放,已經造成地下水污染.因此,涌現(xiàn)出大量地下水污染問題的研究工作(見[11,16,31,35,52,74,76,79,80,84,102,103]等).在組分污染問題中,組分的運移不僅僅受達西速度,分子擴散和機械彌散的影響,還要受到組分間的化學反應影響.一般而言,組分間的化學反應分為動力控制溶解-沉淀反應(見[12,19,38,39,44,49,56,63,64,70,78]等)和化學平衡反應(見[14,45,51,65,96,97]等),例如：絡化反應,氧化-還原反應,離子交換及氣體的溶解-解析反應等.模擬地下水中多組分運移模型(見[18,64,71]等)需要求解耦合的非線性偏微分方程組(描述水頭的拋物型方程和描述多組分濃度的對流擴散方程等).數(shù)值方法(有限元,有限差分等)(見[9,10,30,40,48,50,77,89,98,100,102,103]等)是一種非常有力的工具.由于偏微分方程組的耦合性和非線性,研究區(qū)域規(guī)模大和計算時間長等原因,開發(fā)求解地下水中耦合的水頭和多組分濃度方程組的質量守恒型的區(qū)域分解的有效數(shù)值方法是非常重要的.區(qū)域分解方法(見[1,2,3,4,15,27,32,72,85,91]等)把一個大區(qū)域分成多個小子區(qū)域,然后在每個小子區(qū)域上同時求解偏微分方程組,從而有效地進行并行計算.一般分為重疊區(qū)域分解(見[33,60,61,85,94]等)和非重疊區(qū)域分解(見[5,20,21,24,25,26,32,53,55,57,82,83,101,108,110]等).由于非重疊區(qū)域分解在每步時間間隔上具有計算量小和通信時間短的優(yōu)勢,求解拋物型方程的非迭代的顯隱非重疊區(qū)域分解方法已取得重要成果.[20,53]提出了混合格式,即首先通過顯格式計算子區(qū)域的內邊界,然后通過隱格式計算子區(qū)域的內解.為改善穩(wěn)定性條件,[26]進一步提出了求解拋物型方程的顯隱區(qū)域分解(EIDD)方法.首先利用時間多步法或空間高階格式計算內邊界,然后通過隱式計算子區(qū)域內解.通過引入隱式校正,[83,110]得到求解二維拋物型方程的無條件穩(wěn)定顯隱區(qū)域分解算法.[83]提出了二維拋物型方程校正的顯隱區(qū)域分解算法(CEIDD),并給出了“Z”字型區(qū)域分解上的理論分析.[82]提出了求解二維拋物方程的時間三層格式的區(qū)域分解算法.即首先通過時間外推計算子區(qū)域的內邊界點,然后通過隱格式計算子區(qū)域內解,最后通過隱格式校正內邊界點.近來,通過結合非重疊塊狀區(qū)域分解和算子分裂技巧,[57]提出了一種有效的塊狀區(qū)域分解上求解高維拋物型方程的分裂-區(qū)域分解方法(S-DDM)即通過時間多步顯式計算內邊界點,其次通過一維算子分裂隱格式計算子區(qū)域內解.針對對流擴散問題,[108]提出了求解二維變系數(shù)對流擴散方程的時間三層的區(qū)域分解算法.[55]提出了求解帶狀區(qū)域的對流擴散方程的區(qū)域分解算法.即通過顯式迎風格式計算內邊界點,其次通過隱式修正迎風格式計算內邊界點.通過結合非重疊塊狀區(qū)域分解,算子分裂和一階迎風格式,[25]提出了一種時間多步的迎風分裂-區(qū)域分解方法(S-DDM)求解對流擴散方程.但是,以上的區(qū)域分解算法[20,24,25,26,53,55,57,82,83,108,110]都不滿足質量守恒這一重要的物理定律.保持質量守恒的區(qū)域分解算法尤其在求解空間規(guī)模大和計算時間長的問題中是非常重要的.[21]提出了求解一維和二維帶狀區(qū)域分解拋物型方程的守恒型區(qū)域分解算法.即首先通過加權算子計算內邊界通量,然后通過隱格式計算子區(qū)域內解.此格式是條件穩(wěn)定,且給出的二維帶狀區(qū)域分解上的誤差估計非最優(yōu).[109]提出了求解一維常系數(shù)拋物型方程的質量守恒型區(qū)域分解算法.盡管此格式滿足質量守恒和無條件穩(wěn)定的特點,但是它不能求解二維塊狀區(qū)域分解的拋物型方程.格式[21,109]受到一維和二維帶狀區(qū)域分解的嚴格限制,因此,研究塊狀區(qū)域分解上的守恒型區(qū)域分解算法是一項非常具有挑戰(zhàn)和實際意義的工作.全文分為四章.結構如下在第一章中,我們研究了帶有Neumann邊界條件的拋物型方程的質量守恒型分裂-區(qū)域分解方法.拋物型方程常被用來模擬地下水的水頭,油藏中的壓力,熱傳導中的溫度等.由于研究和開發(fā)實際問題的規(guī)模大,計算時間長和計算存儲量大,質量守恒的區(qū)域分解方法求解拋物型方程是非常需要的.在非重疊塊狀區(qū)域分解上,通過結合算子分裂技巧和解和通量在交錯網格上的耦合性技術,我們提出和分析了求解二維塊狀區(qū)域分解的拋物型方程的質量守恒型分裂-區(qū)域分解方法(S-DDM).分割計算區(qū)域為多個非重疊的塊狀子區(qū)域,在每個塊狀子區(qū)域上,我們采用兩步法計算內解和通量.第一步,首先通過半隱交界面通量格式(顯格式)計算子區(qū)域x-方向內邊界中間層通量,然后通過x-方向分裂解和通量的耦合隱格式計算子區(qū)域內解和通量,再校正計算交界面的通量.第二步,通過半隱交界面通量格式(顯格式)計算子區(qū)域y-方向內邊界中間層通量,其次通過y-方向分裂解和通量的耦合隱格式計算子區(qū)域內解和通量,然后校正計算新層交界面的通量.所提出的質量守恒的S-DDM格式不僅具有非重疊區(qū)域分解,算子分裂和無條件穩(wěn)定的優(yōu)勢,更重要的是格式滿足質量守恒.由于采用算子分裂和非重疊塊狀區(qū)域分解,分析格式的穩(wěn)定性和收斂性具有挑戰(zhàn)性.通過推導一些關于內邊界上數(shù)值通量的輔助性引理,定義中間層精確解和利用矩陣理論,我們證明了質量守恒的S-DDM格式是無條件穩(wěn)定.證明了格式滿足質量守恒,并給出格式的誤差估計.數(shù)值算例驗證理論分析.在第二章中,我們研究了二維對流擴散方程的守恒區(qū)域分解算法.對流擴散方程常被用來描述諸如熱量傳輸.組分質量運移,氣溶膠運動等現(xiàn)象.眾所周知,在實際應用中,由于對流項占優(yōu)導致偏微分方程雙曲特性,采用標準有限差分格式會引起數(shù)值震蕩.對于對流擴散問題,雖已有顯隱區(qū)域分解方法的研究工作[25,55,108].但是這些區(qū)域分解算法都不滿足質量守恒.至今未見到求解對流擴散方程的質量守恒區(qū)域分解方法的文獻.我們結合二階修正迎風技巧和解和通量的耦合格式,首次提出了求解二維塊狀區(qū)域分解的對流擴散方程的質量守恒的修正迎風分裂-區(qū)域分解方法(S-DDM)在每個子塊狀區(qū)域上,我們采用兩步法計算最終的解和通量.在第一個時間半步?首先通過修正的半隱通量格式計算子區(qū)域x-方向中間層內邊界通量,再通過x-方向分裂的解和通量的耦合修正迎風隱格式計算子區(qū)域內解和x-方向通量,然后校正計算中間層內邊界通量.在第二個時間半步,通過修正的半隱通量格式計算子區(qū)域x-方向中間層內邊界通量,其次通過y-方向分裂的解和通量的耦合修正迎風隱格式計算子區(qū)域內解和y-方向通量,最后校正計算新層內邊界通量.我們證明了所提出的格式滿足質量守恒,證明格式是無條件穩(wěn)定,進一步分析得到誤差估計.通過數(shù)值算例驗證格式質量守恒性,收斂性和并行性.我們提出的修正迎風S-DDM格式不僅具有塊狀區(qū)域分解,算子分裂,二階精度和無條件穩(wěn)定.而且成功地克服了格式[25,55,108]不滿足質量守恒的嚴重問題.在第三章中,我們分析了擴散系數(shù)依賴于時間和空間的變系數(shù)拋物型方程的一類質量守恒型區(qū)域分解方法.通過結合內邊界加權平均差分格式和x-方向和y-方向的分裂技巧,我們提出和分析了帶有反應項的變系數(shù)拋物型方程的非重疊塊狀區(qū)域分解上的一類質量守恒型S-DDM格式.在每個時間間隔上,采用分數(shù)步算子分裂格式計算塊狀子區(qū)域的內解.首先通過多步加權平均差分格式計算x-方向內邊界通量,然后通過x-方向分裂隱式計算子區(qū)域的中間層內解和x-方向通量.同樣,沿y-方向計算新時刻的解和y-方向通量.我們證明所提出的內邊界加權平均差分的分裂-區(qū)域分解格式滿足全局質量守恒,并證明格式是弱條件穩(wěn)定.我們分析了格式的收斂性并給出離散L2范數(shù)下的最優(yōu)誤差估計O)(△t+hx2+hy2+Hx2/5Hy5/2)數(shù)值算例驗證格式收斂性,質量守恒性,穩(wěn)定性和并行有效性.我們提出的變系數(shù)拋物型方程的質量守恒型S-DDM格式成功地克服了格式[21,109]僅在二維帶狀區(qū)域分解上的的限制條件.在第四章中,我們研究了質量守恒的區(qū)域分解方法在多孔介質中地下水多組分污染問題中的應用.描述地下水多組分污染問題的數(shù)學模型是由一族耦合非線性偏微分方程組構成(描述水頭的拋物型方程和描述多組分污染物濃度的對流擴散方程).由于實際應用中地質結構的復雜性,研究區(qū)域規(guī)模大和計算時間長等原因.開發(fā)一種有效求解地下水多組分污染問題的質量守恒型的區(qū)域分解方法是非常重要的.結合非重疊塊狀區(qū)域分解,算子分裂技巧和解和通量在交錯網格上的耦合性,在每個時間間隔上采用兩步法依次提出求解非重疊塊狀區(qū)域分解上的水頭和污染物組分濃度的質量守恒型S-DDM迭代算法.第一步,首先通過半隱通量格式(顯格式)計算水頭的內交界面通量,其次通過一維算子分裂解和通量耦合的隱格式計算水頭內解和通量.第二步,利用已得的水頭和線性化濃度法,計算x-方向和：-方向的達西速度.第三步.結合修正迎風技巧和定義新的守恒通量,提出求解污染物組分濃度方程的質量守恒的修正迎風S-DDM格式.我們所提出的迭代逼近不但具有非重疊塊狀區(qū)域分解和算子分裂的優(yōu)勢,而且保持質量守恒.數(shù)值算例驗證格式質量守恒,收斂階,穩(wěn)定性和并行有效性.我們模擬了在不同情形下污染物組分Ca2+,CO32-,Cl-和Na+間的沉淀反應(CaCO3沉淀)和輸運情況.模擬了污染物HCl流經含有CaCO3鹽和MgCO3鹽的多孔介質時,與其發(fā)生溶解反應產生新污染物Ca2+,Mg2+和弱酸H2C03的過程.實驗表明所提出的守恒型區(qū)域分解方法很好的在塊狀區(qū)域分解上模擬了多孔介質多組分污染問題.
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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