本文關(guān)鍵詞：關(guān)于K_2群的一些問(wèn)題的研究

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【摘要】：我們主要研究數(shù)域、函數(shù)域的K2群和代數(shù)整數(shù)環(huán)的K2群即tame核,這是代數(shù)K理論的一個(gè)重要的研究課題.我們主要研究?jī)蓚€(gè)問(wèn)題,一個(gè)是代數(shù)整數(shù)環(huán)的K2群的p-秩問(wèn)題,另一個(gè)是K2群中的分圓元問(wèn)題.在代數(shù)整數(shù)環(huán)的K2群的p-秩方面,主要探討代數(shù)整數(shù)環(huán)的tame核K2(?)F的p-秩與F(ζp)的理想類群的P-秩的關(guān)系.這方面的研究首先是從Tate開(kāi)始的,之后由Keune對(duì)Tate的工作做了進(jìn)一步的研究Browkin對(duì)二次域上的情況作了詳細(xì)地探討.沿著B(niǎo)rowkin的思路,我們將Browkin關(guān)于二次域的結(jié)果推廣到一般數(shù)域.特別是,我們深入地研究了四次循環(huán)域的情形.K2群中的分圓元問(wèn)題的研究是從Browkin試圖推廣Tate的工作開(kāi)始的,主要研究不含單位根的域F上的K2(F)的元素的清晰表示問(wèn)題.在這方面,我們改變了問(wèn)題的提法,賦予問(wèn)題以更精確的形式,從而修正了Browkin關(guān)于分圓元的猜想.特別是,我們引入了分圓子群的概念.在有理函數(shù)域的情況,我們完全決定了由有限多個(gè)“線性”分圓元生成的子群中分圓元的個(gè)數(shù)以及分圓子群的個(gè)數(shù)；在數(shù)域的情況,我們構(gòu)造了幾類域F使得K2(F)中分圓元的平方和立方仍為分圓元.這使得我們進(jìn)而構(gòu)造出了多種非平凡的5階分圓子群的例子.在第一章中,我們簡(jiǎn)單介紹了代數(shù)K-理論的發(fā)展及相關(guān)的問(wèn)題.在第二章中,我們研究了一般數(shù)域的tame核與理想類群的p-秩的關(guān)系,下面是一些主要的定理與推論.定理2.1.3設(shè)F/Q是Galois擴(kuò)張,E=F(ζp)及F∩Q(ζp)=K且l=[K：Q].若p≠l+1,那么(i)若ef1,rankp(K2OF)=ranp(ε(((p-1)/l)-1)Cl(Ep)p)進(jìn)而,(ii)若eF=1,則當(dāng)(Kerλ)∩ε(((p-1)/l)-1)Cl(E)p不含有ε(((p-1)/l)-1)Cl(E)p的非平凡直和項(xiàng)時(shí),否則由此定理,我們可得如下推論.推論2.1.1設(shè)F/Q是與Q(ζp)線性非交的Galois擴(kuò)張,且E=F(ζp).若eF1,則(i)rankp(K2OF)=rankp(ε(p-2)Cl(E)p)(ii)rankp(K2OF)=rnkp(η0ε(p-2)Cl(E)p)+rankp(η1ε(p-20 Cl(E)p).推論2.1.2設(shè)F/Q是全實(shí)Galois擴(kuò)張,且E=F(ζp)若([F：Q],p-1)=1,則若F是四次循環(huán)域,我們有如下定理定理2.4.1令是四次循環(huán)域,E=F(ζp).(i)若p(?)D且p3,則ankp(K2OF)=rankp(ε(p-2)Cl(E)p).(ii)若p|D但p≠D,則定理2.4.3令是四次循環(huán)域,其中p(?)D.(i)若p=3,則其中(ii)若A0且5),則其中定理2.4.4令是四次循環(huán)域,則定理2.4.5令則(i)若(A/5)=1,則(ii)若(A/5)=-1,則在第三章,我們主要研究了有理函數(shù)域上K2群的分圓元與分圓子群,并得到如下結(jié)果.定理3.4.7設(shè)l≥5是素?cái)?shù),F是域使得Φl(x)在F[x]]中不可約.令n是滿足n≤l-3/2的整數(shù).(i)若ch(F)=0,則c(Sl:(n;F))=2n,且有cs(Sl(n;F))=0.(ii)若ch(F)=p≠0,則c(Sl(n;F))=n(2+|ζ(l,p)|).(iii)若ch(F)=p≠0,則我們有且p是l的原根.在此情況下,cs((?)l(n；F))=n,即,(?)l(n；F)包含n個(gè)非平凡分圓子群.(iv)(?)l(n；F)的每個(gè)非平凡分圓子群是一個(gè)l階循環(huán)子群,即個(gè)非平凡分圓子群形如(?)l(1；F).推論3.4.6設(shè)l≥5是素?cái)?shù),F是ch(F)≠l的域,使得Φl(x)在F[x]中不可約.(i)若ch(F)=0且l≥5(相應(yīng)的l≥7或l≥11)),則c(Sl(1;F))=2(相應(yīng)的c((?)l(2；F))=4或c((?)l(3；F))=6且e((?)l(4；F))=8).(ii)若ch(F)=p≠0且l≥5(相應(yīng)的l≥7或l≥11),則c(Sl(1;F))=2+|ζ(2,p)|(相應(yīng)的c(Sl(2;F))=2(2+|ζ(f,p)|)或c(Sl(3;F))=3(2+|ζ(f,p)|)且c((?)l(4；F))=4(2+|3(l,p)|)).)對(duì)nl-3/2,,即l≤2n+1的情況看起來(lái)比較困難.當(dāng)n=2,l=5,我們有如下定理：定理3.5.1設(shè)Φ5(x)在F[x]中不可約.(i)若ch(F)=0,則c((?)5(2；F))=4,故cs((?)5(2；F))=0.(ii)若ch(F)=p≠0,2,則c((?)5(2；F))=2(2+|3(5,p)|).我們用(?)l*(2；Z)記K2(Q(x))中由兩個(gè)如下形式的本質(zhì)不同元生成的子群,其中滿足額外的條件那么我們有定理3.5.2我們有c((?)5*(2；Z))=4,因此,cs(S5*(2;Z))=0,即,(?)5*(2；z)中不含非平凡的分圓子群.在第四章,我們主要研究了數(shù)域上的K2(F)的分圓元與分圓子群.定理4.1.1設(shè)p≥3是素?cái)?shù).令a是多項(xiàng)式xp+xp-1+2的一個(gè)根且F=Q(α).那么我們有定理4.2.1令p3是素?cái)?shù).設(shè)α是fp,i(x)的一個(gè)根,其中i=1或2,且F=Q(α).那么我們有
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O152
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本文編號(hào)：1223027