本文關鍵詞：幾類邊值問題解的存在性與多重性

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【摘要】：非線性泛函分析是現代數學中一個既有深刻理論意義又有廣泛應用價值的研究方向.它的研究成果和方法在計算數學、控制理論、最優(yōu)化理論、動力系統(tǒng)等諸多領域有著廣泛的應用,尤其是它所建立的各類不動點定理可以廣泛應用于各種非線性微分方程、積分方程和其他類型的方程研究.其中,非線性微分方程邊值問題作為有廣泛應用背景的數學研究領域,一直是微分方程理論和非線性泛函分析應用研究的重要課題.在過去的幾十年,各種階數的各類非線性整數階微分方程、差分方程以及時標軸上的動力方程滿足兩點邊值、多點邊值、積分邊值甚至非線性邊值等邊值條件的問題得到廣泛的研究.尤其是整數階微分方程的邊值問題由于其重要的理論價值和明確的物理背景,一直備受許多研究者的關注,取得了非常豐富的研究成果.分數階微分方程在控制論、擴散和傳輸、粘彈性力學、信號處理和非牛頓流體力學等諸多領域得到逐步的應用,已經引起國內外數學及自然科學界的高度重視.對非線性分數階微分方程的研究受到很大的關注,尤其是數值計算和數值解,成為國際熱點研究方向之一本文主要利用非線性泛函分析的錐理論、不動點理論、Krasnosel'skii-Zabreiko不動點定理等首先研究了四類非線性微分方程的邊值問題解的存在性和多解性.最后,利用單調迭代結合上下解方法研究了一類非線性分數階微分方程的非線性邊值問題極限解的存在性和唯一性,并引入了解的迭代算法和數值計算方法.全文共分六章.第一章簡要介紹了非線性泛函分析的歷史背景、非線性微分方程邊值問題的研究現狀,給出本文相關的一些基本概念以及文中多次用到的相關定理等背景知識.第二章研究了如下整數階高階脈沖微分方程的積分邊值問題正解的存在性、多解性其中(?)u(t)dα(t)和(?)u(t)dβ(t)分別是α和β關于u的Riemann-Stieltjes積分.通過轉化為等價積分方程獲得該問題的Green函數,利用Green函數的性質構造一個錐.然后,考慮沒有脈沖項條件下相關線性積分算子的第一特征值,在與該特征值有關的最優(yōu)非線性項增長條件下,運用錐上的Krasnosel'skii-Zabreiko不動點定理獲得該問題正解的存在性.第三章研究了如下帶有脈沖效應的二階p-Laplacian微分方程的Robin邊值問題正解的存在性和多解性通過考慮沒有脈沖項條件下相關線性積分算子的第一特征值獲得最優(yōu)非線性項控制條件,在此條件下,借助Krasnosel'skii-Zabreiko不動點定理和Jensen不等式獲得該問題正解和多正解的存在性結果.第四章討論了如下二階差分方程邊值問題系統(tǒng)正解的存在性和多解性其中重點研究非線性項f和9的耦合行為以及在該行為下的解的存在性問題.在兩個非線性項通過凹凸函數來刻畫的較強耦合條件下,利用Jensen不等式、相關線性算子的第一特征值和錐上的Krasnosel'skii-Zabreiko不動點定理獲得至少存在一個和兩個正解的結果.第五章研究了如下時標軸上四階p-Laplacian動力方程邊值問題的正解的存在性、多解性在非線性項f次線性增長和超線性增長的條件下,利用經典的利用Guo-Krasnosel'skii不動點定理和Leggett-Williams不動點定理,獲得了兩個和三個正解的存在性結果.第六章研究了如下帶p-Laplacian算子的分數階微分方程的非線性邊值問題極限解以及解的迭代數值算法這里在不要求非線性項單調的條件下,通過構造一致收斂到真解的上下解迭代序列,論證了該問題的極限解的存在性和唯一性,然后給出了解的迭代算法和數值計算方法,并通過一個例子說明了算法的可行性,同時也給出了相關的誤差以及逼近解的圖形.綜上所述,在以上問題的解的存在性研究中,通過構造一個相關的線性邊值問題的積分算子,獲得它的第一特征值,把這個特征值結合Jensen不等式和p-Laplacian算子的性質來獲得最優(yōu)的不等式估計,從而得到非線性項的最優(yōu)控制條件,在此條件下利用Krasnosel'skii-Zabreiko不動點定理獲得正解和多正解的存在性結果.在對分數階微分方程的非線性邊值問題的研究中,在沒有通常的非線性項單調的假定下證明了極限解的存在和唯一性,并引入一致收斂于真解的迭代算法和數值算法,也通過實例驗證了該方法的有效性和可行性,這是本部分的創(chuàng)新之處.同時也說明了通過單調迭代結合上下解方法求解該類邊值問題的可行性,相關的誤差估計也表明該方法是行之有效的.因此,這是一個新的計算帶p-Laplacian算子的分數階微分方程的數值方法,豐富了上下解方法的應用以及分數階非線性微分方程的數值研究.通過對以上問題的深入研究,在較弱的條件下獲得了一些新的深刻的結果,這些結果大都已經發(fā)表在國外重要的學術期刊上.
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175.8

【共引文獻】

中國期刊全文數據庫 前10條

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本文編號：1158867