本文關(guān)鍵詞：幾類SIR模型和吊橋模型的周期解

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【摘要】：在現(xiàn)實(shí)世界中,周期運(yùn)動(dòng)是普遍存在的,人們對(duì)常微分方程周期解的研究長期以來都是動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域最重要的課題之一.這是因?yàn)槌Ｎ⒎址匠痰闹芷诮獠粌H可以表征一些具有周期性的運(yùn)動(dòng),也可以近似地刻畫一些非周期性運(yùn)動(dòng),具有廣泛的生物、物理背景.本篇博士論文研究了幾類受季節(jié)驅(qū)動(dòng)的SIR模型和帶有周期阻尼項(xiàng)的吊橋模型的周期性.全文共分為四章： 在第一章中,我們介紹了SIR傳染病模型的起源和發(fā)展,并重點(diǎn)介紹了受季節(jié)驅(qū)動(dòng)的SIR模型、帶有脈沖預(yù)防接種策略的SIR模型以及受媒體報(bào)道影響的SIR模型.另外,我們也介紹了帶有周期阻尼項(xiàng)的吊橋模型.在這一章中,我們列出了本文用到的基本概念和重要定理,并詳細(xì)給出了本文的主要結(jié)果. 在第二章中,我們研究了在脈沖預(yù)防接種策略作用下受季節(jié)驅(qū)動(dòng)的SIR模型：其中這里我們把易感染人群分為多個(gè)群組,對(duì)其中k個(gè)群組分別接種疫苗,脈沖策略表示為：其中0≤pi1,且α0足夠大.記模型(0.0.1)的基本再生數(shù)為其中當(dāng)R01時(shí),G. Katriel [58]應(yīng)用Leray-Schauder度理論,在pi≡0的情形下,證明了系統(tǒng)(0.0.1)周期解的存在性.在這一章中,我們應(yīng)用Gaines-Mawhin的連續(xù)性定理,在pi≥0的情形下,證明了系統(tǒng)(0.0.1)周期解的存在性.此外,我們給出系統(tǒng)(0.0.1)相應(yīng)的數(shù)值模擬來說明脈沖預(yù)防接種策略的有效性.在第三章中,我們考慮在媒體報(bào)道影響下受季節(jié)驅(qū)動(dòng)的SIR模型：通常來講,當(dāng)染病者人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量水平時(shí),媒體報(bào)道,信息處理以及個(gè)人對(duì)于信息的提醒反應(yīng)會(huì)開始產(chǎn)生作用.我們用遞減的逐段光滑函數(shù)f(I)描述媒體報(bào)道對(duì)傳播系數(shù)的影響,其表達(dá)式為：其中α表示影響因子,σ是小參數(shù),Ic是臨界水平值. 記R0為其中當(dāng)β(t)≡β時(shí),Wang和xiao[102]用不連續(xù)的傳播率函數(shù)描述媒體報(bào)道對(duì)傳染病流行的影響.當(dāng)σ足夠小時(shí),我們考慮的式(0.0.3)中的f(I)是對(duì)不連續(xù)系統(tǒng)的一個(gè)近似.當(dāng)f(I)≡1時(shí),G.Katriel[58]通過Leray-Schauder度理論,得到了受季節(jié)驅(qū)動(dòng)的SIR模型正周期解的存在性,他們的方法不能直接處理右端是非光滑的情形.在本章中,我們通過構(gòu)造等價(jià)積分方程,應(yīng)用Leray-Schauder度理論,證明了當(dāng)R00eα?xí)r,系統(tǒng)(0.0.2)-(0.0.3)正周期解的存在性.此外,我們給出系統(tǒng)(0.0.2)-(0.0.3)相應(yīng)的數(shù)值模擬來說明媒體報(bào)道對(duì)傳染病流行的影響. 在第四章中,我們討論了帶有小周期阻尼項(xiàng)的吊橋模型：Utt+p(t)Ut)+cUxxxx+dU=h(t,x),(0.0.4)滿足邊值條件U(0,t)=U(L,t)=Uxx(0,t)=Uxx(L,t)=0,(0.0.5)其中阻尼項(xiàng)系數(shù)p(t)為27π-周期函數(shù),h(t,x)=(sin π/L)f(t)為27r-周期外力.為找到系統(tǒng)(0.0.4)和(0.0.5)的一個(gè)駐波解,我們假設(shè)U(t,x)=(sin π/L)u(t),從而導(dǎo)出等價(jià)的常微分方程：u"+p(t)u'+bu+-αu-=f(t),(0.0.6)其中α=c(π/L)4,6=d+c(π/L)4. 具有變系數(shù)阻尼項(xiàng)常微分方程解的性質(zhì)一直以來是微分方程領(lǐng)域研究的難點(diǎn).Li[123]通過一種巧妙的方法得到了變系數(shù)非線性兩點(diǎn)邊值問題解得存在唯一性.最近,Zu[124]把這種方法推廣到了周期情形.當(dāng)方程(0.0.6)滿足Dolph-型條件和一個(gè)小周期阻尼項(xiàng)條件,通過類似的方法,我們證明了方程(0.0.6)周期解的存在性和唯一性.我們的構(gòu)造性方法可以有效地處理這類非光滑問題.此外,我們給出方程(0.0.6)相應(yīng)的數(shù)值模擬來說明周期阻尼項(xiàng)對(duì)吊橋模型的影響.通過數(shù)值模擬,我們知道小周期阻尼項(xiàng)的影響是有限的.
【關(guān)鍵詞】：周期解 SIR模型 重合度理論 脈沖接種 媒體報(bào)道影響 周期阻尼項(xiàng) 吊橋方程
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175
【目錄】：

• 中文摘要4-8
• Abstract8-14
• 第一章 緒論14-30
• 1.1 SIR傳染病模型14-21
• 1.1.1 經(jīng)典的SIR模型14-16
• 1.1.2 受季節(jié)驅(qū)動(dòng)的SIR模型16-18
• 1.1.3 帶有脈沖預(yù)防接種策略的SIR模型18-19
• 1.1.4 受媒體報(bào)道影響的SIR模型19-21
• 1.2 帶有阻尼項(xiàng)的吊橋模型21-23
• 1.3 預(yù)備知識(shí)23-27
• 1.4 本文的主要工作27-30
• 第二章 在脈沖接種策略作用下受季節(jié)驅(qū)動(dòng)的SIR模型的周期解30-42
• 2.1 引言和主要結(jié)果30-31
• 2.2 SIR模型區(qū)域的選取31-34
• 2.3 正周期解的存在性34-38
• 2.4 數(shù)值模擬38-42
• 第三章 在媒體報(bào)道影響下受季節(jié)周期驅(qū)動(dòng)的SIR模型的周期解42-52
• 3.1 引言和主要結(jié)果42-43
• 3.2 SIR模型區(qū)域的選取43-46
• 3.3 正周期解的存在性46-50
• 3.4 數(shù)值模擬50-52
• 第四章 帶有周期阻尼項(xiàng)的吊橋模型解的周期振蕩問題52-66
• 4.1 引言和主要結(jié)果52-54
• 4.2 齊次方程的周期解54-60
• 4.3 周期解的存在唯一性60-63
• 4.4 數(shù)值模擬63-66
• 結(jié)論66-68
• 參考文獻(xiàn)68-80
• 作者簡介及在學(xué)期間所取得的科研成果80-82
• 后記和致謝82

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