緊束縛晶格模型描述了周期勢(shì)中粒子的低能量量子行為,是凝聚態(tài)物理和量子模擬的主要研究方向,晶格模型的基態(tài)量子相和演化的研究對(duì)晶體材料性質(zhì)研究和量子計(jì)算都有重要的意義。一直以來(lái)對(duì)晶格模型的主要理論研究都是解析計(jì)算,例如無(wú)相互作用能帶理論、一維有相互作用玻色化方法,然而能解析求解的格點(diǎn)模型非常少且特殊,解析方法的發(fā)展跟不上新的晶格系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)速度。而近年來(lái)計(jì)算機(jī)計(jì)算力的發(fā)展能解決這個(gè)問(wèn)題,計(jì)算機(jī)進(jìn)行的很多浮點(diǎn)計(jì)算是解析方法無(wú)法替代的,解析上為了近似需要施加的諸多參數(shù)限制對(duì)于數(shù)值模擬來(lái)說(shuō)都不必存在。能模擬晶格模型的著名方法有精確對(duì)角化、密度矩陣重整化群、蒙特卡洛等方法,這些方法適用于不同類型的問(wèn)題。本文講述了部分?jǐn)?shù)值方法的開(kāi)發(fā)或使用,并用之探索基態(tài)量子相。包括最基本的精確對(duì)角化方法的實(shí)現(xiàn)方法,和用之探討態(tài)空間的截?cái)鄦?wèn)題;簡(jiǎn)化精確對(duì)角化使之能高效計(jì)算無(wú)相互作用玻色、費(fèi)米系統(tǒng)的基態(tài),和用之探索交錯(cuò)躍遷的Hofstadter梯子模型在玻色無(wú)相互作用時(shí)的量子相,得到完整的相圖,并分析相圖中流相的起源;修改無(wú)相互作用精確對(duì)角化使之能計(jì)算無(wú)相互作用費(fèi)米子的淬火演化,并用之?dāng)?shù)值驗(yàn)證能把基態(tài)量子相的拓?fù)鋽?shù)異同問(wèn)... 

【文章來(lái)源】：山西大學(xué)山西省

【文章頁(yè)數(shù)】：50 頁(yè)

【學(xué)位級(jí)別】：碩士

【部分圖文】：

方格中的各個(gè)相位圖示[20].其中各個(gè)如圖2.3，/e為磁通的量子化的單位，為相位無(wú)單位

第三章密度矩陣重整化群方法及應(yīng)用29乘積態(tài)（MPS）來(lái)運(yùn)作的。正因基本假設(shè)的限制，導(dǎo)致DMRG尤其適合研究一維開(kāi)邊界的情形，而難以高效的計(jì)算一維周期邊界和二維系統(tǒng)。MPS屬于張量網(wǎng)絡(luò)中的一種[62]，那么通過(guò)對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)的研究，能否找到其它的基態(tài)假設(shè)，使經(jīng)典計(jì)算機(jī)能夠輕易地模擬周期邊界和二維系統(tǒng)呢？這個(gè)問(wèn)題正是目前對(duì)樹(shù)張量網(wǎng)絡(luò)（TreeTensorNetwork）和MERA（Multi-ScaleEntanglementRenormalizationAnsatz）（如圖3.6）研究的目的所在。本節(jié)對(duì)張量網(wǎng)絡(luò)方法做簡(jiǎn)單的總結(jié)，作為研究多體物理數(shù)值方法的展望。張量是矢量、矩陣到更高維度數(shù)據(jù)的擴(kuò)展，比如Matlab中的三維矩陣就是三維張量。張量圖中點(diǎn)代表一個(gè)張量，線的數(shù)目代表這個(gè)張量的維度數(shù)目，例如矩陣有兩個(gè)維度，表示矩陣的張量點(diǎn)上將有兩條線。張量網(wǎng)絡(luò)中相連的線代表相連的兩個(gè)張量的這個(gè)維度將要進(jìn)行矩陣乘法，因此整體所得的張量將不再擁有這個(gè)維度。懸空的線代表不和其它張量進(jìn)行矩陣乘法的維度，也代表整個(gè)張量網(wǎng)絡(luò)最終結(jié)算（contract）后的自由度。張量網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)和結(jié)算不是任意的，要避免使用過(guò)程中出現(xiàn)維度過(guò)高的張量，以MPS為例，如果直接存儲(chǔ)張量網(wǎng)絡(luò)最終結(jié)算的結(jié)果，這個(gè)張量將擁有L個(gè)維度，這是經(jīng)典計(jì)算機(jī)難以處理的，而作為張量網(wǎng)絡(luò)分開(kāi)儲(chǔ)存卻是可行的，這就像儲(chǔ)存12，處理兩個(gè)矢量遠(yuǎn)遠(yuǎn)比處理最終的矩陣容易一樣。設(shè)計(jì)出表示基態(tài)的張量網(wǎng)絡(luò)假設(shè)后，需要找到適用于該網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化算法，根據(jù)哈密頓量尋找最低能量的張量網(wǎng)絡(luò)，在MPS中對(duì)相鄰的的格點(diǎn)張量進(jìn)行的掃描就是這樣的優(yōu)化過(guò)程，優(yōu)化程序工作到掃描收斂為止，最終從優(yōu)化好的波函數(shù)中測(cè)量可觀測(cè)量[63]。由于DMRG需要的態(tài)數(shù)隨著二維系統(tǒng)的邊長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)，所以DMRG勝任的非一維任務(wù)都是一邊遠(yuǎn)比第二邊長(zhǎng)的，如前面計(jì)?

【參考文獻(xiàn)】：
期刊論文
[1]交錯(cuò)躍遷Hofstadter梯子的量子流相[J]. 劉彪,周曉凡,陳剛,賈鎖堂.  物理學(xué)報(bào). 2020(08)



本文編號(hào)：3409827