本文選題：分數(shù)階微分方程 + 邊界層　； 參考：《華東師范大學(xué)》2017年碩士論文

【摘要】：分數(shù)階微分算子具有典型的非局部特性,當(dāng)前被廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程計算的各個領(lǐng)域.但也正因為分數(shù)階微分算子的非局部性,使得離散后的代數(shù)方程組往往是稠密的,這大大增加了數(shù)值求解的難度和復(fù)雜度.同時,有些分數(shù)階微分方程的解還存在邊界層現(xiàn)象和弱正則性,即使它的擴散系數(shù)和右端項都是光滑的.本論文主要研究的是解帶邊界層的分數(shù)階微分方程的預(yù)處理方法.我們討論了一類帶Dirichlet邊界條件的非齊次變系數(shù)分數(shù)階微分方程.由于存在邊界層現(xiàn)象,需要采用局部加密的網(wǎng)格剖分方法.但此時離散后的代數(shù)方程組不再具有整體Toeplitz結(jié)構(gòu),這給設(shè)計高效的預(yù)處理方法帶來了一定的困難.我們通過對系數(shù)矩陣的細致分析和研究,提出了基于循環(huán)矩陣的塊對角預(yù)處理子和塊下三角預(yù)處理子,并在理論上證明了這兩類預(yù)處理方法的有效性.數(shù)值實驗也表明,這兩種預(yù)處理方法都具有很好的數(shù)值表現(xiàn).我們也考慮了網(wǎng)格局部細化的方法.為了盡可能地減少運算量,我們提出了一種網(wǎng)格局部細化方法,使得數(shù)值解在達到同等精度時所需的網(wǎng)格加密次數(shù)盡可能地少.同時,我們還提出了一種均衡局部細化的網(wǎng)格剖分方法,使得在不改變均勻網(wǎng)格的前提下得到更高精度的數(shù)值解.我們對這兩種網(wǎng)格加密方法都進行了數(shù)值測試.
[Abstract]:Fractional differential operators have typical nonlocal properties and are widely used in various fields of science and engineering. However, because of the nonlocality of fractional differential operators, the discrete algebraic equations are often dense, which greatly increases the difficulty and complexity of numerical solution. At the same time, some fractional differential equations have boundary layer phenomena and weak regularity, even if their diffusion coefficient and right end term are smooth. In this paper, the preprocessing method of solving fractional differential equations with boundary layer is studied. In this paper, we discuss a class of nonhomogeneous fractional differential equations with Dirichlet boundary conditions. Due to the phenomenon of boundary layer, it is necessary to use the method of local encryption mesh generation. However, the discrete algebraic equations no longer have a global Toeplitz structure, which makes it difficult to design efficient preprocessing methods. Based on the detailed analysis and study of the coefficient matrix, we propose a block diagonal preprocessor and a block lower triangular preprocessor based on the cyclic matrix, and theoretically prove the effectiveness of these two preprocessing methods. Numerical experiments also show that the two preprocessing methods have good numerical performance. We also consider the method of local mesh refinement. In order to reduce computational complexity as much as possible, we propose a local mesh thinning method to minimize the number of mesh encryption required for numerical solutions with the same accuracy. At the same time, we propose a balanced local thinning mesh generation method, which can obtain a more accurate numerical solution without changing the uniform mesh. We have carried on the numerical test to these two kinds of mesh encryption methods.
【學(xué)位授予單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.6

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本文編號：1838128