本文選題：華林-哥德巴赫問(wèn)題 + 例外集��； 參考：《山東大學(xué)》2017年碩士論文

【摘要】：華林-哥德巴赫問(wèn)題作為堆壘素?cái)?shù)論中的一個(gè)重要問(wèn)題,一直以來(lái)都備受關(guān)注。其研究能否把滿足一定同余條件的自然數(shù)n表示成若干個(gè)素?cái)?shù)方冪之和的可能性,即方程n=p1+p2+…+ps的可解性,其中s依賴于k.當(dāng)k=1,s = 3時(shí),即奇數(shù)的哥德巴赫猜想,又稱為三素?cái)?shù)定理,Vinogradov[1]已經(jīng)于1937年用解析的方法給出了證明,即任意一個(gè)足夠大的奇數(shù)都可以表示為三個(gè)素?cái)?shù)之和。而k = 1,s = 2時(shí),即偶數(shù)的哥德巴赫猜想,至今仍無(wú)法被證明。我們一般對(duì)素?cái)?shù)方冪較低的連續(xù)冪華林-哥德巴赫問(wèn)題更感興趣,因?yàn)檫@往往能取得相對(duì)更理想的結(jié)果。例如:對(duì)于= 3,Hua[2]在1938年證明了,任意充分大的奇數(shù)n,可以被9個(gè)素?cái)?shù)的立方和全表,以及不超過(guò)N且滿足一定的同余條件的n,能被s個(gè)(5 ≤ s ≤ 8)素?cái)?shù)的立方所表示的例外集E(N)N log-A N,其中A為某個(gè)正常數(shù)。這一結(jié)果隨后得到了長(zhǎng)足改進(jìn),與此同時(shí),人們也對(duì)混合冪華林-哥德巴赫問(wèn)題產(chǎn)生了濃厚的興趣。例如:將正整數(shù)n表示為一個(gè)平方,四個(gè)立方,一個(gè)b次方和一個(gè)c次方,其表法個(gè)數(shù)為Rb,c(n),Hooley[3]在1981年首先給出了R3,5(n)的漸進(jìn)公式,而隨后Brudern[4]則給出了R3,c(n)的漸進(jìn)公式。本文的主要工作即利用研究連續(xù)冪華林-哥德巴赫問(wèn)題的方法,解決一個(gè)混合冪的華林-哥德巴赫問(wèn)題。對(duì)于一個(gè)充分大且滿足一定同余條件的正整數(shù)n,n∈N且Nn≤2N 除,除O(N1-21-k/k+e)個(gè)例外,均可被表示為四個(gè)素?cái)?shù)的立方與一個(gè)素?cái)?shù)的k次方的和(k為某個(gè)固定的正整數(shù),且k ≥ 3),即定理 1.1。雖然有關(guān)于n = p13+p23+p33+p43問(wèn)題的進(jìn)展非常有限,但是Ren[5]證明了可表示為四個(gè)素?cái)?shù)的立方和的正整數(shù)具有正密度,這就保證了本文研究的問(wèn)題,對(duì)于某個(gè)固定的k(k≥3),方程n=p13+p23+p33+p43+p5k能夠得到一個(gè)相對(duì)理想的例外集。鑒于我們想要得到一個(gè)例外集,在應(yīng)用圓法處理主區(qū)間時(shí),需要將主區(qū)間盡量擴(kuò)大,運(yùn)用Liu[6]提出的增大主區(qū)間的處理方法,以及Liu[7]在圓法中建立的迭代的方法處理主區(qū)間,充分利用奇異級(jí)數(shù)估計(jì)上取得的節(jié)省,最終得到一個(gè)有關(guān)于主區(qū)間的下界。處理余區(qū)間時(shí),在本文中使用Zhao[8]的方法,將余區(qū)間分割為兩部分,充分利用Ren[9]和Zhao[8]中建立的三角和估計(jì),配合均值估計(jì)對(duì)余區(qū)間分別進(jìn)行估計(jì),以取得一個(gè)有關(guān)于余區(qū)間的上界,即可得到該問(wèn)題的例外集。
[Abstract]:As an important problem in the theory of pile-up prime number, the Wallin-Goldbach problem has been paid more and more attention all the time. Whether the natural number n satisfying some congruence conditions can be expressed as the sum of the powers of several prime numbers, that is, the equation n=p1 p2 鈥，

本文編號(hào)：1781970