發(fā)布時(shí)間：2017-08-14 05:17

  本文關(guān)鍵詞：非良基集與模態(tài)邏輯

  更多相關(guān)文章： 非良基集合 模態(tài)邏輯 可定義性 互模擬 元邏輯性質(zhì)

【摘要】：在策梅洛-弗蘭克爾的集合論公理系統(tǒng)ZF中,基礎(chǔ)公理把集合的論域限制到良基集合。因此,不存在屬于關(guān)系的無窮降鏈,也不存在屬于自身的集合。1989年阿克采爾創(chuàng)立了非良基集合理論,引入反基礎(chǔ)公理AFA替換ZF中的基礎(chǔ)公理FA,從而得到非良基集合論系統(tǒng)ZFA。由于非良基集合可以用來構(gòu)造循環(huán)現(xiàn)象的模型,而這些循環(huán)現(xiàn)象都不能用經(jīng)典集合論來描述,因此,它們在哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、模態(tài)邏輯、語言學(xué)以及理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中具有十分廣闊的應(yīng)用前景。接受非良基集合并發(fā)展非良基集理論具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。 本文研究非良基集合與模態(tài)邏輯的關(guān)系,在模態(tài)邏輯的集合論語義下探討了一些重要的語義概念,進(jìn)而研究了集合(模型)的構(gòu)造、可定義性等等模型論問題。概括說來,本文的主要工作包括以下三個(gè)方面: 第一,梳理了非良基集合論的理論背景、發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀,介紹了非良基集合在眾多研究領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。 第二,根據(jù)阿克采爾和巴威斯等人的觀點(diǎn),闡述了非良基集合的基本理論,從集合與圖的關(guān)系和方程組的解兩個(gè)方面引入反基礎(chǔ)公理,保證非良基集合的存在性。接著,引入兩個(gè)重要的概念。一個(gè)概念是本元,它既不是集合也不是類,但可以作為集合的元素。把本元引入圖的裝飾,便得到加標(biāo)圖。另一個(gè)概念是集合上的互模擬關(guān)系,它用于判定兩個(gè)非良基集合相等。 第三,在集合論語義下重新研究模態(tài)邏輯。本文探討了框架、模型和集合之間的聯(lián)系,然后研究集合的構(gòu)造以及模態(tài)可定義性問題,并且將基本模態(tài)語言翻譯到經(jīng)典(一階或二階)集合論語言。本文還引入了集合之間的互模擬關(guān)系和方程組之間的互模擬,進(jìn)而研究加標(biāo)圖上的互模擬與模態(tài)等價(jià)之間的關(guān)系。最后,在集合論語義下重新研究模態(tài)邏輯的一些元邏輯性質(zhì)。 本文的主要?jiǎng)?chuàng)造性工作在于: 第一,在模態(tài)邏輯的集合論語義下,定義了集合之間的一些非標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算,包括不交并、生成子集合、p-態(tài)射、樹展開等,并證明了模態(tài)公式在這些運(yùn)算下的保持或不變結(jié)果。 第二,把基本模態(tài)語言翻譯到經(jīng)典集合論語言,并且證明了語義上的對(duì)應(yīng)結(jié)果,初步探討了范·本特姆類型的刻畫定理。 第三,在模態(tài)邏輯的集合論語義下,研究可定義性理論。本文重點(diǎn)研究了如何使用集合類對(duì)模態(tài)公式進(jìn)行分類,從模態(tài)邏輯T的特征公式出發(fā),把分類結(jié)果推廣到其它模態(tài)邏輯的特征公式,包括模態(tài)邏輯KD、K4、KB、K5和GL的特征公式等等。 第四,使用圖和加標(biāo)圖等語義結(jié)構(gòu),初步研究了模態(tài)邏輯系統(tǒng)的元邏輯性質(zhì),主要包括正規(guī)模態(tài)邏輯的完全性、有窮加標(biāo)圖性質(zhì)和可判定性質(zhì)。本文還嘗試使用純集合和含有本元的集合直接研究這些元邏輯性質(zhì)。 目前,我國邏輯學(xué)界對(duì)非良基集合論及其應(yīng)用的研究幾乎還是一片空白,尚處起步階段。在這方面,本文研究工作的意義是,在借鑒和吸納國外研究成果的基礎(chǔ)上,把非良基集合與模態(tài)邏輯相結(jié)合的研究成果引進(jìn)、介紹到國內(nèi)。更重要的是,本文在非良基集合論語義下重新研究了模態(tài)邏輯,解決了一些模型論問題,這有利于促進(jìn)各個(gè)邏輯分支的共同發(fā)展,更大程度地發(fā)揮邏輯學(xué)的工具性作用。我認(rèn)為,模態(tài)邏輯與非良基集合論的結(jié)合是一個(gè)具有深厚理論意義和應(yīng)用價(jià)值的研究方向。
【關(guān)鍵詞】：非良基集合 模態(tài)邏輯 可定義性 互模擬 元邏輯性質(zhì)
【學(xué)位授予單位】：南開大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2009
【分類號(hào)】：B819
【目錄】：

• 摘要3-5
• Abstract5-10
• 引言10-14
• 第一章 非良基集合概述14-29
• 第一節(jié) 良基集合和非良基集合14-17
• 1.1.1 集合論悖論14-15
• 1.1.2 公理集合論ZFC15-16
• 1.1.3 良基集與非良基集16-17
• 第二節(jié) 非良基集的研究歷史和現(xiàn)狀17-23
• 1.2.1 第一個(gè)時(shí)期:觀念的萌芽(1900-1924)18
• 1.2.2 第二個(gè)時(shí)期:公理集合論(1925-1949)18-19
• 1.2.3 第三個(gè)時(shí)期:非良基集的存在性(1950-1974)19-20
• 1.2.4 第四個(gè)時(shí)期:非良基集合論的引入及其應(yīng)用(1975-)20-23
• 第三節(jié) 非良基集與循環(huán)現(xiàn)象23-29
• 1.3.1 哲學(xué)中的循環(huán)現(xiàn)象23-25
• 1.3.2 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的循環(huán)現(xiàn)象25
• 1.3.3 模態(tài)邏輯中的循環(huán)現(xiàn)象25-26
• 1.3.4 情境語義學(xué)中的循環(huán)現(xiàn)象26-27
• 1.3.5 理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中的循環(huán)現(xiàn)象27-29
• 第二章 非良基集合的基本理論29-52
• 第一節(jié) 本元與非良基集合29-32
• 2.1.1 本元29-31
• 2.1.2 非良基集31-32
• 第二節(jié) 集合與圖32-41
• 2.2.1 Mostowski坍塌定理32-33
• 2.2.2 集合與圖33-38
• 2.2.3 集合與加標(biāo)圖38-41
• 第三節(jié) 集合與方程組的解41-45
• 2.3.1 集合相等的判定41-42
• 2.3.2 反基礎(chǔ)公理的解引理表述42-44
• 2.3.3 反基礎(chǔ)公理的兩種等價(jià)表述44-45
• 第四節(jié) 互模擬45-52
• 2.4.1 集合上的互模擬關(guān)系45-46
• 2.4.2 加標(biāo)圖之間的互模擬關(guān)系46-47
• 2.4.3 方程組之間的互模擬關(guān)系47-50
• 2.4.4 強(qiáng)外延性50-52
• 第三章 模態(tài)邏輯的集合論語義52-88
• 第一節(jié) 模態(tài)語言的句法和語義53-59
• 3.1.1 基本模態(tài)語言和無窮模態(tài)語言53-55
• 3.1.2 模態(tài)邏輯的關(guān)系語義學(xué)55-56
• 3.1.3 正規(guī)模態(tài)邏輯56-59
• 第二節(jié) 框架、模型與集合59-67
• 3.2.1 模態(tài)模型與加標(biāo)圖59-61
• 3.2.2 模態(tài)邏輯的集合論語義61-67
• 第三節(jié) 模態(tài)語言與集合論語言67-71
• 第四節(jié) 集合運(yùn)算和保持結(jié)果71-79
• 3.4.1 不交并73-75
• 3.4.2 生成子集合75-76
• 3.4.3 p-態(tài)射76-78
• 3.4.4 樹展開78-79
• 第五節(jié) 互模擬與模態(tài)等價(jià)79-88
• 3.5.1 加標(biāo)圖之間的運(yùn)算79-83
• 3.5.2 Hennessy-Milner性質(zhì)83-86
• 3.5.3 van Benthem刻畫定理86-88
• 第四章 模態(tài)可定義性88-109
• 第一節(jié) 使用模態(tài)公式刻畫集合88-93
• 第二節(jié) 有窮模態(tài)語言與單個(gè)集合的刻畫93-96
• 第三節(jié) 使用集合類對(duì)模態(tài)公式分類96-105
• 4.3.1 對(duì)應(yīng)理論96-101
• 4.3.2 使用集合類對(duì)模態(tài)公式分類101-105
• 第四節(jié) 一些刻畫結(jié)果105-109
• 4.4.1 持續(xù)性公理◇T105-106
• 4.4.2 傳遞性公理□p→□□p106
• 4.4.3 對(duì)稱性公理p→□◇p106-107
• 4.4.4 歐性公理◇p→□◇p107
• 4.4.5 L(o|¨)b公理□(□p→p)→□p107-109
• 第五章 模態(tài)邏輯的元邏輯性質(zhì)109-122
• 第一節(jié) 完全性109-116
• 5.1.1 L-加標(biāo)圖109-112
• 5.1.2 強(qiáng)完全性112-116
• 第二節(jié) 有窮加標(biāo)圖性和可判定性116-118
• 第三節(jié) 集合論語義與元邏輯性質(zhì)118-122
• 參考文獻(xiàn)122-126
• 致謝126-127
• 個(gè)人簡歷127-128

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