本文關(guān)鍵詞：基本命題邏輯的模態(tài)擴張，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：基本命題邏輯是不同于經(jīng)典命題邏輯的命題邏輯,屬于非經(jīng)典邏輯,與它最類似的非經(jīng)典邏輯是直覺主義命題邏輯。相比于經(jīng)典命題邏輯,基本命題邏輯引入了一個恒假概念(記為⊥),并在否定和蘊含的定義上均與經(jīng)典命題邏輯不同。基本命題邏輯中蘊含的意義在于一個特定的傳遞關(guān)系的后繼上,蘊含式的真值也由該關(guān)系的后繼上前件和后件的真值確定。否定式也不再是經(jīng)典命題邏輯中那樣的真值變換,一個命題的否定被定義為該命題蘊含恒假。在基本命題邏輯中加入公式p∧(p→q)→q作為公理,可以將該邏輯擴張為直覺主義邏輯；再在此直覺主義邏輯的基礎(chǔ)上加入公式p∨-p作為公理,則可以將其擴張為經(jīng)典命題邏輯。與經(jīng)典命題邏輯和直覺主義命題邏輯一樣,基本命題邏輯也可以進行模態(tài)擴張,以此來研究必然、可能及其相關(guān)概念。以上設(shè)定與直覺主義命題邏輯基本相同,區(qū)別在于蘊含的定義上,在基本命題邏輯中,與蘊含對應的特定關(guān)系是一個傳遞關(guān)系,而在直覺主義命題邏輯中,與蘊含對應的特定關(guān)系是一個自返且傳遞的關(guān)系�；久}邏輯和直覺主義命題邏輯之間的區(qū)別也是由于這個關(guān)系的自返與否帶來的。由于基本命題邏輯和經(jīng)典命題邏輯、直覺主義命題邏輯之間關(guān)系密切,因而在對其進行模態(tài)擴張的時候,可以借鑒經(jīng)典模態(tài)邏輯和直覺主義模態(tài)邏輯,參考二者中對模態(tài)部分的定義與描述來獲取對基本命題邏輯進行模態(tài)擴張的思路,以及獲取擴張之后得到的邏輯的具體性質(zhì)。 在對基本命題邏輯進行模態(tài)擴張時,經(jīng)過檢驗得出必然算子與可能算子之間并不像經(jīng)典模態(tài)邏輯中那樣具有對偶關(guān)系,因此需要分別擴張出只含有必然算子的模態(tài)邏輯與只含有可能算子的模態(tài)邏輯,再考慮將這兩種模態(tài)邏輯進行合并,進而得到同時含有必然算子與可能算子的模態(tài)邏輯。在引入必然算子時,與經(jīng)典模態(tài)邏輯一樣需要引入新的可及關(guān)系,但由于基本命題邏輯本身帶有的單調(diào)性,使得如果僅僅使用這個新的關(guān)系定義出必然算子,那么將出現(xiàn)在擴張后的模態(tài)邏輯系統(tǒng)下帶有必然算子的蘊含式不能保持單調(diào)性這個問題。解決這個問題需要對得到的模態(tài)邏輯的模型進行關(guān)系上的限制。為了避免進行這樣的限制,本文將蘊含式對應的關(guān)系與模態(tài)擴張時引入的新關(guān)系結(jié)合在一起,同時使用這兩個關(guān)系來重新定義了必然算子。以這樣的方式引入必然算子之后,在基本命題邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入兩條帶有必然算子的公理與一條帶有必然算子的推理規(guī)則,即可以得到該系統(tǒng)的帶有必然算子的模態(tài)擴張。在引入可能算子時同樣由于單調(diào)性而遇到了問題,而將蘊含式對應的關(guān)系與模態(tài)擴張時引入的新關(guān)系結(jié)合在一起來重新定義可能算子的方式并沒有得到好的結(jié)果,因此為了解決這個問題,本文在擴張后得到的模態(tài)邏輯系統(tǒng)上進行了這兩個關(guān)系之間的限制。以這樣的方式引入可能算子之后,在基本命題邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入兩條帶有可能算子的公理與一條帶有可能算子的推理規(guī)則,即可以得到該系統(tǒng)的帶有可能算子的模態(tài)擴張。而同時按文中的方式引入必然算子與可能算子之后,將以上四條公理與兩條推理規(guī)則同時加入基本命題邏輯的系統(tǒng),則可以得到該系統(tǒng)的既帶有必然算子又帶有可能算子的模態(tài)擴張MPL,而這也是本文希望得到的結(jié)果。 以這樣方式對基本命題邏輯進行模態(tài)擴張之后,得到的模態(tài)邏輯類似于直覺主義模態(tài)邏輯,但兩者在公理上有很大區(qū)別。本文選擇了最有影響力的直覺主義模態(tài)邏輯系統(tǒng)——費舍爾·舍維的FS系統(tǒng)——來與MPL的系統(tǒng)進行對比,發(fā)現(xiàn)兩者除了共有的公理及推理規(guī)則之外,包括K公理在內(nèi)的三條FS系統(tǒng)的公理在MPL的系統(tǒng)中均存在反模型,以此來說明這三條公理都不能作為MPL系統(tǒng)的公理或定理。除了這樣的不同點,從模型論的理論進行考慮可以發(fā)現(xiàn),在經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)、基本命題邏輯系統(tǒng)與直覺主義模態(tài)邏輯系統(tǒng)中,一些模型和框架上的定理在MPL中同樣適用,只需要注意將對應的模態(tài)部分轉(zhuǎn)化為適用于MPL的形式。 考慮到除了K公理之外的另外兩條公理是同時含有必然算子與可能算子的公式,而這兩條公理均被證明在MPL中無效,因而本文嘗試將引入必然算子與可能算子所使用的與模態(tài)相對應的可及關(guān)系區(qū)分開來的方式,以一種偏向代數(shù)的方式重新對基本命題邏輯進行了模態(tài)擴張。這樣進行的模態(tài)擴張得到的模態(tài)邏輯同時含有必然算子與可能算子,其模型可以對應到一個特定的海廷代數(shù)上,同時一個符合這樣形式的海汀代數(shù)也可以對應到某個這樣的模態(tài)邏輯模型上。由于存在這樣的雙向?qū)?因而本文嘗試將模型論與代數(shù)上的一些概念與性質(zhì)對應到基本命題邏輯的模態(tài)擴張上,包括歸約、嵌入、同構(gòu)等概念均可以與該模態(tài)邏輯的模型結(jié)合起來。
【關(guān)鍵詞】：基本命題邏輯 模態(tài)擴張 模態(tài)系統(tǒng)差異 代數(shù)
【學位授予單位】：西南大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2014
【分類號】：O141.1
【目錄】：

• 摘要4-6
• Abstract6-8
• 文獻綜述8-10
• 第1章 緒論10-12
• 1.1 研究的目的和意義10
• 1.2 主要研究方法10-12
• 第2章 模態(tài)詞的引入12-23
• 2.1 基本命題邏輯12-14
• 2.2 公理化的模態(tài)擴張14-22
• 2.3 本章小結(jié)22-23
• 第3章 MPL的性質(zhì)23-31
• 3.1 MPL與直覺主義模態(tài)邏輯的區(qū)別23-26
• 3.2 MPL的性質(zhì)26-30
• 3.3 本章小結(jié)30-31
• 第4章 代數(shù)與模態(tài)化31-34
• 4.1 模態(tài)化31
• 4.2 代數(shù)上的性質(zhì)31-34
• 結(jié)論34-35
• 參考文獻35-36
• 致謝36-37
• 發(fā)表論文37

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