【摘要】：近年來,許多數(shù)學(xué)家開始投身于Hamilton PDEs中的擴散的研究,這類方程可看成是具有無窮多個自由度的Hamilton方程,典型的是Schrodinger方程,波方程,Kdv方程等。最近由Tao等五人在[]一文中解決了色散方程中的擴散問題,這里“擴散”是指一類光滑解其能量從低頻率態(tài)轉(zhuǎn)移到高頻率態(tài),但是我們并不知道這種能量轉(zhuǎn)換是否隨著時間趨于無窮仍然被保持。對于其它類型的偏微分方程,至今尚不知道是否有類似的結(jié)果。研究偏微分方程中的擴散問題,一個自然的思路便是先研究相應(yīng)的離散系統(tǒng)是否存在擴散現(xiàn)象。在[]一文中,他證明了對于Schrodinger方程的一種離散化方程,存在Arnold擴散。但是,此文中所構(gòu)造的擾動非常特殊,所有的周期軌都保存了下來,從而形成了轉(zhuǎn)移鏈,本質(zhì)上,仍然是Arnold的例子。在[]一文中,他們證明了一個周期自由連接的單擺擾動系統(tǒng)存在擴散軌道,并且估計了擴散速度,該模型可看成是sine-Gorden方程的一種離散化。 本文的第三部分研究了可交換Hamilton系統(tǒng)在變分框架下動力學(xué)上的一些性質(zhì),證明了相應(yīng)的Aubry集,Mane集分別為一致的,相應(yīng)的Lax-Oleinik半群可交換,且具有公共的C1,1粘性下解,α函數(shù)具有擬線性性質(zhì)等。 本文的第四部分考慮了一類周期格點系統(tǒng),該系統(tǒng)為N個質(zhì)點通過彈簧連成一圈,在未擾時,這N個質(zhì)點并不是處于自由狀態(tài)的,我們通過對該系統(tǒng)Mather集,Aubry集,Mane集的詳盡分析,以及對不變柱面的刻畫,尋找了一條合理的擴散路徑,用變分法證明了擴散軌道的存在性,由于有[]一文中的正則性保證,我們在構(gòu)造擴散軌道時,不需要通過c-等價來構(gòu)造局部(全局)連接軌道,而是完全遵從Arnold機制,這與[]中所構(gòu)造的擴散軌道圖像是不一樣的,他們所構(gòu)造的擴散軌道有一部分是“貼著”柱面的。這樣其實說明了Arnold擴散的機制可以為Arnold機制,也可不為Arnold機制,這兩種方式可以并存。多自由度Hamilton系統(tǒng)動力學(xué)的復(fù)雜程度,由此也可窺見一斑。
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2012
【分類號】：N941.3;O175.2

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本文編號：2719758