本文關(guān)鍵詞：光伏電池工程用數(shù)學模型研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

光伏電池工程用數(shù)學模型研究
傅望，周林，郭珂，劉強，代璐，黃勇
（重慶大學輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室，重慶市 400030）

摘要：光伏電池輸出特性曲線方程是光伏發(fā)電理論研究的基礎(chǔ)，本文結(jié)合該曲線和質(zhì)點平拋運動軌跡的相似 性，在原有的光伏電池工程指數(shù)模型基礎(chǔ)上，首次提出了另一種更便于計算的光伏電池工程用數(shù)學模型。該模型 的

特點是用在三個不同重力場g 0、 g 1和g 2下的質(zhì)點平拋的運動軌跡來代替光伏電池輸出特性曲線。運用物理學中 的平拋運動公式換算出電池輸出特性曲線，通過調(diào)節(jié)g0、g1分界點的位置，使得本模型在不同的環(huán)境條件下最大 功率點附近的誤差盡可能小。實驗表明：該模型生成數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)的誤差能滿足工程精度要求，模型運算量和 指數(shù)模型比較，減少了運算量。 關(guān)鍵詞：光伏電池模型, 平拋運動，重力加速度，最大功率點 中圖分類號：TM914.4 文獻標識碼：A

RESEARCH ON ENGINEERING ANALYTICAL MODEL OF SOLAR CELLS
Zhou Lin, Fu Wang, Guo Ke，Liu Qiang, Dai Lu, Huang Yong
（Chongqing University State Key Laboratory of Power Transmission Equipment & System Security and New Technology， Chongqing 400030，China) Abstract: As the output characteristic curve of photovoltaic (PV) cell is the theoretical basis of PV Power. This paper starts from studying the similarity between the output characteristic curve of PV cell and the trajectories of the horizontal projectile motion. Also based on the original project index model of PV cell, this paper first proposes a new engineering mathematical model which is easier to calculate in practice. The characteristic of the new model is that it attempt to indirectly analyze the trajectories of the horizontal projectile motion under three different gravity g0、g1 and g2 instead of directly analyzing the output characteristic curve of PV cell. Using the horizontal projectile motion formula to carry out the conversion formula of output characteristic curve of PV cell, then through adjusting the demarcation points of g0 and g1, to make the error near the maximum power point, under varying environmental conditions, as small as possible. By comparing the measured data，it shows this model can meet the engineering requirement. What’s more, this new model reduces the computational complexity and improves the operation speed comparing with the original project index model.

Keywords: solar cell model, horizontal projectile motion, gravity acceleration, MPP

1 引言
光伏電池輸出特性曲線方程是光伏發(fā)電理論 研究的基礎(chǔ)[1-4]。 國內(nèi)外學者做了大量有關(guān)光伏電池 輸出特性曲線的研究：建立了基于等效電路的指數(shù) 模型[3]；基于大量實驗數(shù)據(jù)擬合的多項式模型[5]和
收稿日期： 修回日期： 收稿日期：xxxx-xx-xx 修回日期：xxxx-xx-xx 基金項目： 基金項目 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室自主研究項 目 （ 2007DA10512709211 ） ; 中 央 高 校 基 本 科 研 業(yè) 務(wù) 費 資 助 （CDJXS11151153）

分段多項式擬合法[6]，由于光伏電池單元內(nèi)部含有 P-N 結(jié)，指數(shù)模型能較好地還原其內(nèi)部電路結(jié)構(gòu)， 所以精度較高，但是指數(shù)模型中的參數(shù)確定困難， 不便于工程應用。對于實驗數(shù)據(jù)擬合的多項式模 型，，精度與擬合數(shù)據(jù)的多少有關(guān)[5]，樣本數(shù)據(jù)越多， 擬合得出的模型精度越高，提前實測大量的數(shù)據(jù)實 現(xiàn)過程相對麻煩。對于分段多項式擬合法[6]，雖然 擬合過程不需要大量實驗數(shù)據(jù)，但是沒有統(tǒng)一的擬 合公式。它一次只能復現(xiàn)一條光伏特性曲線，當環(huán)

1

境變化后，需要重新獲得擬合點數(shù)據(jù)，重新分段擬 合，不便于工程實現(xiàn)。 為此本文首先討論了兩種常用的光伏電池模 型，總結(jié)了各自的特點，并在此理論基礎(chǔ)上提出了 一種基于運動學理論的工程用太陽電池數(shù)學模型。 該模型在盡量提高準確度的前提下簡化模型的運 算量，對于光伏系統(tǒng)的研究和設(shè)計，具有一定的理 論和現(xiàn)實意義。

即式(2)，該模型僅需要太陽能電池供應商提供的 四個重要技術(shù)參數(shù) Isc、Voc、Im、Vm。就能在一定 的精度下復現(xiàn)太陽能電池的特性。
? V ) ? 1]} ? I = I SC {1 ? C1[exp( C2VOC ? ? Im Vm ) ?C1 = (1 ? ) exp(? I sc C2VOC ? ? V I ?1 ?C2 = ( m ? 1)[ln(1 ? m )] VOC I sc ?

(2)

在任意環(huán)境條件下，Isc、Voc、Im、Vm,會按一 定規(guī)律發(fā)生變化；通過引入相應的補償系數(shù)，近 似推算出任意光照 S 和電池溫度 T 下四個技術(shù)參

2 光伏電池模型
根據(jù)電子學理論,光伏電池的等效電路[3,4]如圖 1 所示，

數(shù) [8]：
S ? ? I sc = I scref ? S ? (1 + a ? ?T ) ref ? ?Voc = Vocref ? ln(e + b ? ?S ) ? (1 ? c ? ?T ) ? ? ? I = I ? S ? (1 + a ? ?T ) mref ? m S ref ? Vm = Vmref ? ln(e + b ? ?S ) ? (1 ? c ? ?T ) ? ?
2

(3)

圖 1 光伏電池等效電路 Fig.1 Equivalent circuit of the solar cell

上式中，S ref = 1000W / m 為參考太陽輻射強 度； ref = 25 C 為參考電池溫度；?S = S ? S ref 為 T
0

根據(jù)圖 1，忽略結(jié)電容 Cj，可以得到光伏電池 的 I-V 特性曲線方程為：
q (V + IRS ) ? ? V + IRS I = I L ? I 0 ?exp[ ] ? 1? ? AKT RSh ? ?

實際光強與參考光強的差值；?T = T ? Tref 為實際 電池溫度與參考電池溫度的差值；e 為自然對數(shù)的 底數(shù)，其值約為 2.71828；補償系數(shù) a、b、c 為常 數(shù)。根據(jù)大量實驗數(shù)據(jù)擬合，其典型值推薦為：
a = 0.0025 / 0C ，

(1)

式中 IL—光電流 （A） I0—反向飽和電流 ； （A） ； q—電子電荷(1.6×1019C)；K—玻耳茲曼常數(shù)(1.38 ×10 J/K)；T—絕對溫度（K） ；A—二極管因子； RS—串聯(lián)電阻（Ω） sh—并聯(lián)電阻（Ω） ；R 。 式(1)， 由于能較大程度還原光伏電池單元的基 本原理，已被廣泛應用于太陽電池的理論分析中, 但由于表達式中的 5 個參數(shù),包括式中 IL、I0、Rsh、 RS 和 A，它們不僅與電池溫度和日射強度有關(guān)，而 且確定十分困難，因此不便于工程應用，也不是太 陽電池供應商向用戶提供的技術(shù)參數(shù)。 在式(1)的基礎(chǔ)上，文獻 [7]對電路模型簡化處 理，推導得出一個比較實用的工程用數(shù)學模型，
-23

b = 0.0005(W / m 2 ) ?1 ，
c = 0.00288 / 0C 。

當太陽光照和電池溫度發(fā)生變化時，根據(jù)式 (3)，可以得出任意光照 S 和電池溫度 T 下的四個 技術(shù)近似值，然后再根據(jù)式(2)即可以計算任意光 照 S 和電池溫度 T 條件下硅太陽能電池輸出特性。 文獻 [7] 的光伏電池數(shù)學模型相對于式(1)更簡 單、實用，但是模型中參數(shù)和方程的計算涉及到多 次對數(shù)和指數(shù)運算， 對于 DSP 等控制器來說完成對 數(shù)和指數(shù)運算并非易事，所以本文考慮在上述理論

2

基礎(chǔ)上對光伏電池輸出特性方程進行進一步簡化， 找出一種更便于計算的模型。

I sc
Im

v0

3 平拋運動學模型
由光伏電池輸出特性原理可知：光伏電池可描 述為一種非線性的直流源[3,4]， 在最大功率點以前近 似為恒流源，在最大功率點之后近似為恒壓源。光 伏電池 I-V 特性曲線和質(zhì)點平拋運動軌跡在一定程 度上有極大的相似性，基于此本文提出一種運動學 模型。如圖 2，把 I-V 特性曲線和質(zhì)點平拋運動軌 跡建立在同一坐標系中，并通過橫坐標將其分為三 段，每段各處于不同的重力場下，將質(zhì)點從短路電 流點（0,Isc）平拋出去，可以推導出和實際 I-V 特 性非常相近的曲線。 3.1 模型初值修 定 模型初值修定 太 陽 能 電 池 生 產(chǎn) 廠 家 會提 供 標 準 測 試 條 件 Sref 和 Tref 下的 Iscref、 Vocref、 Imref、 Vmref,參數(shù)。在 任意條件下，通過引入相應的補償系數(shù)，根據(jù)式 (3)近似推算出任意光照強度 S 和電池溫度 T 下四 個技術(shù)參數(shù)：Isc、 Voc、 Im、 Vm。 3.2 標準測試條件下模型的建立 如圖 2， 假設(shè)質(zhì)點以初速度 v0 從坐標點 （0,Isc） 平拋出去，在 (0, λ ?Vm ) 區(qū)間（ λ 為待定系數(shù)，理 論取值為 0 ≤ λ < 1 ），小球處在無重力加速度的 環(huán)境下（g0=0）做勻速直線運動，在 (λ ?Vm ,Vm ) 區(qū) 間有重立場 g1，在 (Vm , Voc ) 區(qū)間有重力場 g2，為 了使運動軌跡與太陽電池 I-V 曲線最大程度的重 合。假設(shè)運動軌跡必須經(jīng)過短路電流點（0,Isc）， 最大功率點(Vm,Im)，開路電壓點（Voc,0）這三個 關(guān)鍵點。在 g1 下質(zhì)點下降速度很慢，在 g2 下質(zhì)點 下降速度很快，既 g1 << g 2 。

g0 =0

g1

g2

λ ?Vm

Vm

Voc

圖 2 光伏電池運動學模型 Fig.2 The kinematic model of solar cells

質(zhì)點從點（0,Isc）以初速度 v0 平拋出去，由 于重力場 g0=0。所以質(zhì)點做勻速直線運動至坐標 點 (λ ?Vm , I sc ) 。 質(zhì)點在點 (λ ?Vm , I sc ) 處以速度 v0 在重力場 g1 作用下經(jīng)過 t1 時間運動到最大功率點 (Vm , I m ) 處， 由運動學公式，X 軸方向做勻速直線運動，有：

t1 =

Vm ? λ ? Vm v0

(4)

y 軸方向做重力加速度為 g1 的自由落體運動：

I sc ? I m =

1 ? g1 ? t12 2

(5)

把（4）式中 t1 代入（5）中。解得
g1 = 2 ? ( I sc ? I m ) ? v 0 .
2

(6)

(Vm ? λ ? Vm )

2

在最大功率點(Vm，Im )處， 小球豎直方向的速 度為：

vt1 = g1 ? t1 = g1 ?

Vm ? λ ? Vm v0

(7)

質(zhì)點到達點(Vm， Im )后，又在 g2 下作用 t2 時 間到達（Voc ,0）。X 軸方向做勻速直線運動，有：
t2 = Voc ? Vm v0

(8)

3

y 軸方向做初速度為 vt1 ,重力加速度為 g2 的 勻加速直線運動：

現(xiàn)該區(qū)間的輸出特性具有一定理論和現(xiàn)實意義。 為此需保證在最大功率點處擬合曲線斜率與

1 2 I m = vt1 ? t2 + ? g 2 ? t2 2

（9）

理論曲線的斜率相等，擬合曲線在最大功率點處 一定滿足 [9,10]：
dP dV
V =Vm

把式（7）中 vt1，式（6）中的 g1，式（8）中 t2 代入式（9）中，解出 g2 有：
g2 = 2v 0[ I m ? (Vm ? λ ? Vm ) ? 2( I sc ? I m )(Voc ? Vm )]
2

= 0

(13)

由式(13)得：
dP dV =
V =V m

(Voc ? Vm ) 2 (Vm ? λ ? Vm )

(10) 由運動學理論，化簡整理后得到質(zhì)點運動軌 跡為：
2 ? ( I sc ? I m ) ? 2 ? g1 = (Vm ? λ ?Vm ) ? ? ? g = 2[ I m ? (Vm ? λ ? Vm ) ? 2( I sc ? I m )(Voc ? Vm )] ? 2 (Voc ? Vm ) 2 (Vm ? λ ? Vm ) ?

=

d(VI) d(V)

V =V m

d[I scV ? 0.5g 1V(V ? xV m )] dV
2(I sc ? I m ) = 0 (1-x)2 Vm

V =V m

= Im ?

(14)

(11)

解出：

λ = 1±

? ? I 0 = I sc (12) ? 1 2 ? I 1 = I sc ? ? g1 ? (V ? λ ? Vm ) ? 2 ? 1 ? 2 ? I 2 = I m ? 2 ? g 2 ? (V ? Vm ) ? g1 ? (V ? Vm ) ? (Vm ? λ ? Vm ) ?

2(I sc ? I m ) Vm I m

(15)

由定義的 λ 的物理意義取值范圍[0， 可知： 1）

λ = 1?

2(I sc ? I m ) Vm I m

(16)

式（12）中，V 為光伏電池的輸出電壓，I0 為 0 < V ≤ λ ?Vm 時的光伏電池的輸出電流；I1 為
λ ? Vm < V ≤ Vm 時的光伏電池的輸出電流；I2 為
Vm < V ≤ Voc 時光伏電池的輸出電流。

由于上式三個參數(shù)都直接受到實時光照 S 和 溫度 T 的影響 [8]，所以參數(shù) λ 也會隨光照溫度的 改變自動調(diào)整到最優(yōu)值，保證了模型在最大功率 點附近區(qū)域的準確度。 選取兩種不同類別型號的電池，在 MATLAB 中建立光伏電池運動學模型 [11]，把不同溫度光照 條件下的 Isc、Voc、Im 和 Vm 數(shù)據(jù)代入運動學模型 并計算出 I-V 數(shù)據(jù)和無錫尚德提供的光伏電池在 不同溫度光照下的實測 I-V 數(shù)據(jù)進行比較。圖 3 給出了三組數(shù)據(jù)的比較圖，從圖中實測曲線和模 型曲線的重合程度可知，本模型只需廠家參數(shù)就 能較好地復現(xiàn)實測數(shù)據(jù)。

3.3 參數(shù) λ 最優(yōu)值 的 確定 參數(shù)λ最優(yōu)值的

λ 的取值的物理意義在于重力場 g1 和 g2 的分
界點位置，其結(jié)果會在一定程度上決定模型曲線 的形狀。光照 S 和溫度 T 的改變也會改變理論曲 線的形狀。為了保證在任意 S 和 T 條件下，模型 曲線與理論曲線在最大功率點附近最大程度的重 合，需要確定合適的λ 取值來滿足上述要求。本 文以模型曲線在最大功率點附近與理論曲線誤差 最小為目標，來確定λ 的最佳取值。因為最大功 率點附近是光伏電池常用工作區(qū)間，最大程度復

4

圖 4 指數(shù)模型的 I-V 實驗曲線 圖 3 運動型模型數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)對比 Fig.4 I-V experimental curves of the exponential model Fig.3 The kinematic model data and the measured data comparison chart

4 實驗及分析
本文以安捷倫公司生產(chǎn) E4360 光伏陣列模擬 電源作為實驗平臺，進行對比實驗，分別用指數(shù) 模型和運動學模型與實測數(shù)據(jù)作誤差分析，并與 常用的工程指數(shù)模型比較了運算量。本文的單晶 硅電池 1#和多晶硅電池 2#的測試數(shù)據(jù)由無錫尚德 特供，在此表示感謝。 實驗平臺的配置及參數(shù)為：E4360A 主機一 臺，E4362A 輸出模塊兩塊，每塊最大輸出電壓為 130V，最大輸出電流為 5A，最大輸出功率為
5

圖 5 運動學模型的 I-V 實驗曲線 Fig.5 I-V experimental curves of the kinematic model

導出圖 4、圖 5 中兩組數(shù)據(jù)，再與實測數(shù)據(jù) 一起繪制在圖 6 中。從圖 6 中可以看出，運動學 模型輸出數(shù)據(jù)能較好地與實測數(shù)據(jù)重合。

600W，本文實驗采用兩塊輸出模塊并聯(lián)工作模 式。 4.1 實驗對比 圖 4 為電池 1#在光強 800 W/m2，電池溫度 25℃ 環(huán)境條件下的電池參數(shù)輸入 E4360A 主機中 并采用 SAS 模式 （用指數(shù)模型 [12]計算出離散數(shù)據(jù) 點生成 DAC 表）生成的 I-V 測試曲線。圖 5 為相 同試驗條件下，用運動學模型計算數(shù)據(jù)輸入 E4360A 主機中并工作在 TABLE 模式（輸入運動 學模型計算的離散數(shù)據(jù)點， 生成 DAC 表） 后生成 的 I-V 測試曲線。

4

3

2

1

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

圖 6 兩種模型計算數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)對比圖 Fig.6 Two kinds of model data and measured data comparison chart

4.2 誤差分析 改變電池參數(shù)或環(huán)境參數(shù)，重復上面步驟， 統(tǒng)計單晶硅電池和多晶硅電池在不同環(huán)境條件下 （共 12 組數(shù)據(jù)），E4360A 電源中指數(shù)模型與本

5

模型輸出的實驗數(shù)據(jù)與電池廠家實測數(shù)據(jù)的相對 誤差。統(tǒng)計在最大功率點左側(cè)相同電壓下，電流 相對誤差的最大值；統(tǒng)計最大功率點右側(cè)，相同 電流下，電壓相對誤差的最大值，其相對誤差定 義為 [12]：
Ei = Ie ? Is × 100% Ie

無論是單晶硅還是多晶硅太陽能電池，運動學模 型與實測數(shù)據(jù)誤差都小于 4%，能滿足工程需求。 4.3 計算量分析 表 2 統(tǒng)計了常用指數(shù)模型 [7]以及運動學模型 的運算量。并假設(shè)計算公式中指數(shù)和對數(shù)函數(shù)運

（17）

算為三階泰勒展開 [14]，統(tǒng)計每計算一次電流值所 需要的折合乘法運算量。從表 2 可知：由于本文 提出的運動學模型計算公式中由于不含指數(shù)和對

V ?V Eu = e s × 100% Ve

（18）

數(shù)運算，比常用的工程用指數(shù)模型減少了一半左 右的運算量。

上式中下標 e 表示實測數(shù)據(jù)， 表示模型輸出 s 數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如表 1。
表 1 兩種模型數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)相對誤差統(tǒng)計表 Table 1 Two kinds of model data with the measured data relative error tables 電 池 號 光強 /W/m
2

表 2 兩種模型函數(shù)運算量統(tǒng)計 Table 2 Computation of two models 模型 指數(shù)模型 運動學模型 運算量 29 次乘法 11～19 次乘法

溫 度 /

運動學模型

指數(shù)模型

℃

Ei max

Ev max

Ei max

Ev max

5 結(jié)論
本文建立的運動學光伏電池工程用數(shù)學模型

1 # 1 # 1 # 2 # 2 # 2 #

800

25

1.3%

2.6%

2.4%

1.9%

其準確度能滿足工程要求， 本文的主要貢獻在于： （1）與多項式擬合模型相比，運動學模型只需要

1000

25

1.7%

1.5%

2.9%

1.6%

電池廠家給出的電池型號參考數(shù)據(jù)即可建模，并 給出了統(tǒng)一的公式，能更方便復現(xiàn)不同環(huán)境條件

1000

60

2.9%

2.4%

4.5%

1.9%

下的輸出特性曲線。（2）和指數(shù)模型比較，運動 學模型減少了一半左右的運算量，有利于控制器

800

25

2.1%

2.4%

1.9%

1.8%

解算時提高實時響應速度。 （3）在環(huán)境條件的變 化時，通過 g0 與 g1 分段點位置自動調(diào)整，仍能保

1000

25

2.5%

1.5%

2.1%

1.4%

證運動學模型曲線在最大功率點附近與理論模型 曲線重合。

1000

60

3.2%

2.1%

2.5%

1.7%
[1]

參考文獻
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從表 1 可以看出，在不同環(huán)境環(huán)境條件下，

6

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7



  本文關(guān)鍵詞：光伏電池工程用數(shù)學模型研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。