本文關(guān)鍵詞：非線性Klein-Gordon方程N(yùn)eumann邊值問題的高階差分格式

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【摘要】：Klein-Gordon方程作為Schrodinger方程的相對(duì)論形式,在數(shù)學(xué)物理中有著至關(guān)重要的作用,它涉及一些非線性方程的研究.由于該問題一般無法求出其解析解,因此,只能用數(shù)值方法求其數(shù)值解.要對(duì)它進(jìn)行數(shù)值分析,必然會(huì)造成一定的誤差,從而影響研究結(jié)果,那么采用高精度的數(shù)值方法是非常必要的.近年來一些學(xué)者對(duì)Klein-Gordon方程的高精度算法做了相關(guān)研究,但是對(duì)于用高精度的有限差分方法離散Klein-Gordon方程的工作相對(duì)較少.本文主要研究非線性Klein-Gordon方程N(yùn)eumann邊值問題的高階差分格式.文章共分為三章.第一章介紹本文所研究問題的實(shí)際意義、研究現(xiàn)狀以及本文的研究?jī)?nèi)容和結(jié)果.第二章研究一維非線性Klein-Gordon方程N(yùn)eumann邊值問題的數(shù)值解.我們首先利用邊界條件及方程得到毋)和u乎)在邊界處的值,進(jìn)而分別在內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)處建立三點(diǎn)和兩點(diǎn)緊差分格式,其截?cái)嗾`差為O(r2+h4).之后進(jìn)行理論分析.由于文中的夕(u),.f存在有界性限制,從而可以用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)差分格式進(jìn)行分析.借助于能量估計(jì)、Gronwall不等式、Schwarz不等式等技巧,最終得到差分格式在無窮范數(shù)下的收斂性和穩(wěn)定性.最后進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn).通過數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了我們所得結(jié)論的正確性.第三章研究二維非線性Klein-Gordon方程N(yùn)eumann邊值問題的數(shù)值解.類似于一維的情況,我們利用邊界條件及方程得到u的三階偏導(dǎo)數(shù)和五階偏導(dǎo)數(shù)在邊界處的值,進(jìn)而分別在內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)處建立緊差分格式,并通過連乘的方式將其表示出來,其截?cái)嗾`差為o(τ2+h4).由于無法保證誤差的有界性,故不能用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行理論分析.但是通過數(shù)值試驗(yàn)容易看出差分格式在L∞范數(shù)下的收斂階數(shù)是O(τ2+h4).
【關(guān)鍵詞】：非線性Klein-Gordon方程 緊差分格式 收斂性 穩(wěn)定性 高精度
【學(xué)位授予單位】：東南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要5-6
• Abstract6-8
• 第一章 前言8-11
• 1.1 問題的引入及研究現(xiàn)狀8-10
• 1.2 本文的研究?jī)?nèi)容和結(jié)果10-11
• 第二章 一維非線性Klein-Gordon方程N(yùn)eumann邊值問題的高階差分格式11-30
• 2.1 記號(hào)和引理12-14
• 2.2 差分格式的建立14-17
• 2.3 差分格式的求解17-19
• 2.4 差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性19-27
• 2.4.1 收斂性19-25
• 2.4.2 穩(wěn)定性25-27
• 2.5 數(shù)值算例27-30
• 第三章 二維非線性Klein-Gordon方程N(yùn)eumann邊值問題的高階差分格式30-38
• 3.1 主要研究?jī)?nèi)容和記號(hào)30-32
• 3.2 差分格式的建立32-34
• 3.3 差分格式的求解34-36
• 3.4 數(shù)值算例36-38
• 第四章 結(jié)論與展望38-39
• 致謝39-40
• 參考文獻(xiàn)40-41

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本文編號(hào)：519915