在現(xiàn)代科學(xué)、技術(shù)、工程中存在大量偏微分方程問(wèn)題,偏微分方程的解析解很難得到,大量學(xué)者轉(zhuǎn)而研究偏微分方程的數(shù)值解。蒙特卡羅方法的穩(wěn)定性和收斂速度與維度無(wú)關(guān),是研究偏微分方程數(shù)值解的一個(gè)好工具。本文主要就偏微分方程的蒙特卡羅解法和多水平蒙特卡羅解法,作如下研究:第一章是前言。介紹了偏微分方程蒙特卡羅解法和多水平蒙特卡羅解法的研究背景以及國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀,簡(jiǎn)述本文所做工作。第二章介紹了蒙特卡羅方法的理論知識(shí)。蒙特卡羅方法解決問(wèn)題可以分四步完成,通過(guò)誤差分析可知蒙特卡羅方法的收斂速度最大為O(n^-1/2),簡(jiǎn)單歸納蒙特卡羅方法的優(yōu)缺點(diǎn),為了減小蒙特卡羅方法的方差,介紹了對(duì)偶隨機(jī)變量技巧。第三章運(yùn)用蒙特卡羅方法求解泊松方程和熱傳導(dǎo)方程。建立隨機(jī)游動(dòng)概率模型,證明定理,給出算法流程。通過(guò)構(gòu)建隨機(jī)游動(dòng)概率模型的四個(gè)步驟求解泊松方程和熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解(?)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明:對(duì)不同的空間步長(zhǎng)δ,泊松方程和熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解(?)均收斂。在此基礎(chǔ)上,結(jié)合對(duì)偶隨機(jī)變量技巧求解泊松方程和熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解(?),數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明:對(duì)偶隨機(jī)變量技巧可以降低蒙特卡羅方法的方差。第四章介紹了多水平蒙...

【文章頁(yè)數(shù)】：43 頁(yè)

【學(xué)位級(jí)別】：碩士

【文章目錄】：
摘要
Abstract
第1章 前言
    1.1 研究背景
    1.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀
        1.2.1 偏微分方程蒙特卡羅解法的研究現(xiàn)狀
        1.2.2 偏微分方程多水平蒙特卡羅解法的研究現(xiàn)狀
    1.3 本文所做工作
第2章 蒙特卡羅方法的基本知識(shí)
    2.1 蒙特卡羅方法的基本步驟
    2.2 蒙特卡羅方法的誤差分析
    2.3 蒙特卡羅方法的優(yōu)缺點(diǎn)
    2.4 蒙特卡羅方法的改進(jìn)
        2.4.1 對(duì)偶隨機(jī)變量技巧
        2.4.2 對(duì)偶隨機(jī)變量的方差分析
第3章 兩類偏微分方程的蒙特卡羅解法
    3.1 泊松方程的蒙特卡羅解法
        3.1.1 泊松方程蒙特卡羅解法的隨機(jī)游動(dòng)概率模型
        3.1.2 泊松方程蒙特卡羅解法的理論證明
        3.1.3 泊松方程蒙特卡羅解法的算法流程
        3.1.4 泊松方程蒙特卡羅解法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)
    3.2 熱傳導(dǎo)方程的蒙特卡羅解法
        3.2.1 熱傳導(dǎo)方程蒙特卡羅解法的理論介紹
        3.2.2 熱傳導(dǎo)方程蒙特卡羅解法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)
    3.3 本章小結(jié)
第4章 多水平蒙特卡羅方法的基本知識(shí)
    4.1 多水平蒙特卡羅方法的介紹
    4.2 多水平蒙特卡羅方法的理論證明
    4.3 多水平蒙特卡羅方法的算法流程
第5章 熱傳導(dǎo)方程的多水平蒙特卡羅解法
    5.1 熱傳導(dǎo)方程的多水平蒙特卡羅解法
    5.2 熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值實(shí)驗(yàn)
    5.3 本章小結(jié)
第6章 總結(jié)與展望
    6.1 論文總結(jié)
    6.2 研究展望
參考文獻(xiàn)
致謝
在學(xué)期間的科研情況



本文編號(hào)：3786161