近年來,反問題的理論及應(yīng)用研究涉及越來越多的領(lǐng)域。在理論研究方面,有越來越多研究者用不同的方法去克服反問題的不適定性。鑒于統(tǒng)計(jì)方法可以量化反問題解的不確定性,統(tǒng)計(jì)反問題得到了更多人的關(guān)注。此外,反問題方法在石油勘探,水文地質(zhì)學(xué)與環(huán)境科學(xué),信號與圖像處理等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛,尤其在圖像去噪與恢復(fù)研究方面,統(tǒng)計(jì)方法研究具有重要意義。本文主要研究時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程中參數(shù)反演的貝葉斯方法及其在圖像重建方面的應(yīng)用。第一章,分析課題的研究意義,并簡要闡述了國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢,然后簡單介紹反問題與貝葉斯方法之間的聯(lián)系,最后給出本文的主要工作。第二章,主要介紹貝葉斯方法的基本概念和理論知識,以及貝葉斯理論在圖像處理方面的應(yīng)用,為后續(xù)章節(jié)研究做準(zhǔn)備。第三章,主要應(yīng)用貝葉斯方法研究一維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的參數(shù)反演問題。首先基于正問題求解的差分格式,分別研究了擴(kuò)散系數(shù)的單參數(shù)反演以及微分階數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的聯(lián)合反演問題。以區(qū)域右端觀測值作為附加數(shù)據(jù),基于貝葉斯理論建立反演模型對未知參數(shù)進(jìn)行求解,討論了似然方差對反演結(jié)果的影響和附加數(shù)據(jù)維數(shù)對反演結(jié)果的影響,同時分析了反演的時效問題。對于一維變時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方... 

【文章來源】：山東理工大學(xué)山東省

【文章頁數(shù)】：72 頁

【學(xué)位級別】：碩士

【部分圖文】：

擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)時的迭代曲線圖和后驗(yàn)概率直方圖

山東理工大學(xué)碩士學(xué)位論文22(a)迭代曲線圖(b)后驗(yàn)概率直方圖(a)Iterationcurve(b)Posteriorprobabilityhistogram圖3.2擴(kuò)散系數(shù)為多項(xiàng)式時的迭代曲線圖和后驗(yàn)概率直方圖Fig.3.3Iterationcurveandposteriorprobabilityhistogramwhendiffusioncoefficientispolynomial從圖3.2-(a)可以看出，三個參數(shù)的馬爾科夫鏈都在真值左右波動。從圖3.2-(b)看出，參數(shù)反演值分別出現(xiàn)在真值附近的概率最大。此外，采用后5000次的反演數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)計(jì)算待估參數(shù)的中位數(shù)和均值，統(tǒng)計(jì)結(jié)果列于表3.2。從表3.2看出，三個參數(shù)的中位數(shù)和均值反演值均收斂于參數(shù)真值，反演的最大誤差不超過4.2976%。表3.2擴(kuò)散系數(shù)為多項(xiàng)式時后驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的相對誤差表Tab3.2Relativeerrorsofposteriorstatisticswhendiffusioncoefficientispolynomial算例3：擴(kuò)散系數(shù)為分段函數(shù)的情形本算例取擴(kuò)散系數(shù)真值為分段函數(shù)的形式，即]1,6.0(1]6.0,3.0(5.1]3.0,0[2)(xxxxD。這里真解、初值函數(shù)、微分階數(shù)與算例1相同，源項(xiàng)可以推斷出為一個分段函數(shù)，即迭代次數(shù)參數(shù)真值后驗(yàn)均值均值誤差(%)后驗(yàn)中位數(shù)中位數(shù)誤差(%)10000二次項(xiàng)系數(shù)11.0071990.71991.0075280.7528一次項(xiàng)系數(shù)0.50.5181003.62000.5214884.2976常數(shù)項(xiàng)10.9936850.63150.9972190.2781

山東理工大學(xué)碩士學(xué)位論文23]1,6.0())cos()2()cos(]6.0,3.0())cos(1.5)2()cos(]3.0,0[))cos(2)2()cos(),(111xxtxtxxtxtxxtxttxf。這里將xD)(這個多項(xiàng)式每個函數(shù)值都作為反演參數(shù)，進(jìn)行聯(lián)合反演。代入?yún)?shù)真值由正演算子得到附加數(shù)據(jù)Y，取建議分布)(iDDq為均勻分布，即DDDDUDDq),()(iii，且為了更好的實(shí)驗(yàn)效果設(shè)D為先驗(yàn)區(qū)域的10%，似然函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.1。圖3.3-(a)、圖3.3-(b)分別繪制了反演值的迭代曲線與其后驗(yàn)概率直方圖。(a)迭代曲線圖(b)后驗(yàn)概率直方圖(a)Iterationcurve(b)Posteriorprobabilityhistogram圖3.3擴(kuò)散系數(shù)為分段函數(shù)時的迭代曲線圖和后驗(yàn)概率直方圖Fig.3.3Iterationcurveandposteriorprobabilityhistogramwhendiffusioncoefficientispiecewisefunction從圖3.3-(a)可以看出，馬爾科夫鏈在迭代大約5000次后達(dá)到了收斂狀態(tài)，每個反演參數(shù)都可以收斂到真值左右。從圖3.3-(b)看出，參數(shù)反演值分別出現(xiàn)在真值的概率最大。此外，采用后5000次的反演數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)計(jì)算待估參數(shù)的中位數(shù)和均值，統(tǒng)計(jì)結(jié)果列于表3.3。從表3.3看出，三個參數(shù)的中位數(shù)和均值反演值均收斂于參數(shù)真值，反演的最大誤差不超過4.9204%。表3.3擴(kuò)散系數(shù)為分段函數(shù)時后驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的相對誤差表Tab3.3Relativeerrorsofposteriorstatisticswhendiffusioncoefficientispiecewisefunction迭代次數(shù)參數(shù)真值后驗(yàn)均值均值誤差(%)后驗(yàn)中位數(shù)中位數(shù)誤差(%)

【參考文獻(xiàn)】：
期刊論文
[1]基于貝葉斯分層模型的MCMC方法在閃光圖像重建中的應(yīng)用[J]. 王忠淼,劉軍,景越峰,劉進(jìn),管永紅.  強(qiáng)激光與粒子束. 2018(11)
[2]分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程中多參數(shù)聯(lián)合數(shù)值反演[J]. 池光勝,李功勝.  復(fù)旦學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 2017(06)



本文編號：3313253