分?jǐn)?shù)階微分方程是由整數(shù)階微分方程推廣得到的.由于全局相關(guān)性,它能更好地刻畫(huà)各種模型的物理過(guò)程,因此,分?jǐn)?shù)階微分方程的理論和數(shù)值方法是目前的熱點(diǎn)研究課題之一.本文主要研究求解一類多項(xiàng)四階時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的有限差分方法.首先,研究求解一類多項(xiàng)四階時(shí)間分?jǐn)?shù)階慢擴(kuò)散方程的有限差分方法.應(yīng)用L1公式逼近時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),用降階法處理空間四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),再借助離散能量方法證明所得差分格式是無(wú)條件穩(wěn)定的且在無(wú)窮范數(shù)下其收斂階為O(τ^2-α₂+h²),其中τ和h分別為時(shí)間方向和空間方向步長(zhǎng),α₂為時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的最大階數(shù).最后用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提出差分格式的精度和有效性.其次,討論求解此類多項(xiàng)四階時(shí)間分?jǐn)?shù)階慢擴(kuò)散方程的高階數(shù)值算法.先用降階法,將原方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)低階方程組,再對(duì)相應(yīng)的離散方程兩邊作用一個(gè)平均算子,應(yīng)用L1公式逼近時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),空間導(dǎo)數(shù)采用緊逼近,建立高階差分格式.借助離散能量方法,分析所得差分格式在L_∞范數(shù)下是無(wú)條件穩(wěn)定且收斂階為O(t^2-a₂... 

【文章來(lái)源】：南京郵電大學(xué)江蘇省

【文章頁(yè)數(shù)】：57 頁(yè)

【學(xué)位級(jí)別】：碩士

【部分圖文】：

方程(2.78)-(2.81)的精確解(左)、格式(2.23)-(2.25)(中)和(2.54)-(2.56)(右)求得的數(shù)值解

圖 2.1 方程(2.74)-(2.77)的精確解(左)、格式(2.23)-(2.25)(中)和(2.54)-(2.56) (右)求得的數(shù)值解圖 2.2 方程(2.78)-(2.81)的精確解(左)、格式(2.23)-(2.25)(中)和(2.54)-(2.56) (右)求得的數(shù)值解表 2.1 (實(shí)驗(yàn)一)當(dāng)1 2 0.3, 0.5時(shí)的最大誤差和空間方向收斂階h格式(2.23)-(2.25) τ 1/10000 格式(2.54)-(2.56) τ 1/200000 2 ,E h

該問(wèn)題的精確解為 3u x , t t 1 sin x.圖 3.2 分別給出四階時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程(3.70)-(3.73)的精確解，應(yīng)用差分格式(3.24)-(3.26)以及差分格式(3.54)-(3.56)計(jì)算所得的數(shù)值解 1 2 1.2, 1.7, M 100, N 100．由圖可見(jiàn)，兩個(gè)差分格式數(shù)值解均與精確解非常吻合，進(jìn)而表明兩個(gè)差分格式都是有效性的．定義 0, maxn nn NE h U u ．在固定時(shí)間步長(zhǎng) 充分小時(shí)，表 3.1 和表 3.2 分別給出實(shí)驗(yàn)三和實(shí)驗(yàn)四在不同空間步長(zhǎng)下差分格式(3.24)-(3.26)和差分格式(3.54)-(3.56)的計(jì)算結(jié)果．可以看出，差分格式(3.24)-(3.26)空間方向的收斂階為二階，而差分格式(3.54)-(3.56)空間方向可達(dá)到四階收斂．表3.3和表3.4分別測(cè)試兩個(gè)差分格式時(shí)間方向的數(shù)值收斂階．當(dāng)1 2 1.2, 1.7時(shí)，時(shí)間方向的收斂階均約為23 1.3；當(dāng)1 2 1.4, 1.9時(shí)，時(shí)間方向的收斂階均約為23 1.1，與理論結(jié)果吻合．

【參考文獻(xiàn)】：
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