等周問(wèn)題和Minkowski問(wèn)題是幾何學(xué)中的兩個(gè)核心內(nèi)容.等周不等式起源于等周問(wèn)題,是數(shù)學(xué)中最古老最優(yōu)美的不等式之一,影響了數(shù)學(xué)各個(gè)分支的發(fā)展.等周不等式與分析中的Sobolev不等式等價(jià).1999年,Gaoyong Zhang利用Minkowski問(wèn)題的解構(gòu)造了一類具有仿射不變性的Sobolev型不等式,并證明它不僅強(qiáng)于經(jīng)典的Sobolev不等式,而且還與著名的Petty投影不等式等價(jià).受Zhang工作的影響,更多更強(qiáng)的仿射Sobolev型不等式被發(fā)掘.目前,具有幾何背景的分析不等式研究是凸幾何分析中的熱點(diǎn)之一.1993年,Lutwak定義了兩凸體的L_p混合體積,并得到了關(guān)于兩凸體的L_p-Minkowski混合體積不等式.L_p-Minkowski不等式是凸幾何分析中最重要的不等式之一.特別地,當(dāng)其中一個(gè)凸體為球時(shí),L_p-Minkowski混合體積不等式即是L_p等周不等式.L_p等周不等式是經(jīng)典等周不等式的自然推廣,L_p等周不等式與分析中的L_p-Sobolev不等式等價(jià).2011年,Ludwig-Xiao-Zhang構(gòu)造了一個(gè)強(qiáng)凸的Lorentz-Sobolev不等式,證明它強(qiáng)于L_p-Sobolev不等式并等價(jià)于L_p等周不等式.首先,我們研究多面體的Orlicz-Minkowski問(wèn)題(也稱為L(zhǎng)_φ-Minkowski問(wèn)題,其中φ是連續(xù)函數(shù)).當(dāng)φ是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)時(shí),2010年Haberl-Lutwak-Yang-Zhang得到了偶Orlicz-Minkowski問(wèn)題解的存在性.我們主要研究φ是單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)時(shí)的Orlicz-Minkowski問(wèn)題,我們得到了對(duì)應(yīng)的離散Orlicz-Minkowski問(wèn)題解存在性的充分條件.我們的結(jié)果推廣了Guangxian Zhu得到的p0情形的離散L_pMinkowski問(wèn)題.其次,研究與凸體的L_p-Minkowski混合體積不等式等價(jià)的Sobolev型不等式.Minkowski問(wèn)題是研究具有幾何背景的分析不等式的重要工具.利用L_p-Minkowski問(wèn)題的解,我們得到了一個(gè)新的Sobolev型不等式,并證明它包含了一個(gè)凸體和另一個(gè)凸體的L_pPetty投影體的Minkowski混合體積不等式.值得注意的是,它的特殊情形是Ludwig-Xiao-Zhang得到的強(qiáng)凸Lorentz-Sobolev不等式.因此,我們稱這個(gè)新的Sobolev型不等式為凸的混合Lorentz-Sobolev不等式.受Lutwak-Yang-Zhang研究L_pJohn橢球的思想啟發(fā),我們利用凸的混合Lorentz-Sobolev不等式給出了函數(shù)型L_pJohn橢球的概念.最后,我們還研究了混合Pólya-Szeg?準(zhǔn)則.利用混合Pólya-Szeg?準(zhǔn)則,我們得到了一些新的混合Sobolev型不等式.
【學(xué)位單位】：西南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O186.5
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第1章 緒論
    1.1 等周問(wèn)題
        1.1.1 經(jīng)典等周不等式
p等周不等式'>        1.1.2 L_p等周不等式
        1.1.3 仿射等周不等式
    1.2 Minkowski問(wèn)題
        1.2.1 經(jīng)典Minkowski問(wèn)題
p-Minkowski問(wèn)題'>        1.2.2 L_p-Minkowski問(wèn)題
        1.2.3 Orlicz-Minkowski問(wèn)題
    1.3 論文的結(jié)構(gòu)安排與主要結(jié)果
p-Brunn-Minkowski理論'>第2章 L_p-Brunn-Minkowski理論
pMinkowski混合體積不等式'>    2.1 L_pMinkowski混合體積不等式
    2.2 Laplace第一特征值
p Petty投影體'>    2.3 L_p Petty投影體
p John橢球'>    2.4 L_p John橢球
第3章 Orlicz-Minkowski問(wèn)題
p Minkowski問(wèn)題'>    3.1 L_p Minkowski問(wèn)題
    3.2 一個(gè)極值問(wèn)題
        3.2.1 一般測(cè)度的Orlicz-Minkowski問(wèn)題
        3.2.2 一個(gè)極值問(wèn)題
    3.3 Orlicz-Minkowski問(wèn)題的解
第4章 混合Lorentz-Sobolev不等式
p凸化'>    4.1 函數(shù)的L_p凸化
        4.1.1 預(yù)備知識(shí)
p凸化'>        4.1.2 水平支集的L_p凸化
    4.2 凸的混合Lorentz-Sobolev不等式
p John橢球'>    4.3 函數(shù)型L_p John橢球
第5章 混合Pólya-Szeg?準(zhǔn)則
    5.1 Pólya-Szeg?準(zhǔn)則
    5.2 混合Pólya-Szeg?準(zhǔn)則
    5.3 一些應(yīng)用
結(jié)束語(yǔ)
參考文獻(xiàn)
致謝
攻讀博士學(xué)位期間完成和發(fā)表的學(xué)術(shù)論文

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本文編號(hào)：2857902