隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)、心理學(xué)和人口問題等諸多科學(xué)領(lǐng)域中建立了比較準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型包括時(shí)滯微分系統(tǒng)、微分差分系統(tǒng)、偏微分系統(tǒng)和常微分系統(tǒng)等多種非線性微分系統(tǒng)。時(shí)滯微分系統(tǒng)一般分為滯后型時(shí)滯微分系統(tǒng);超前型時(shí)滯微分系統(tǒng);混合型時(shí)滯微分系統(tǒng)和中立型時(shí)滯微分系統(tǒng)。數(shù)學(xué)模型的求解與穩(wěn)定性問題的研究,對(duì)于解釋數(shù)學(xué)模型的理論意義與實(shí)際意義具有重要的價(jià)值。本文基于前人獲得的成果,給出輔助方程與函數(shù)變換相結(jié)合的方法,借助符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathematica(或Maple),通過幾個(gè)步驟,研究了幾種非線性微分系統(tǒng)的求解、相圖分析與穩(wěn)定性等問題,獲得了新結(jié)論。一、研究了一種帶強(qiáng)迫項(xiàng)的混合型多時(shí)滯微分系統(tǒng)的求解與穩(wěn)定問題。步驟1.給出雙曲(三角)函數(shù)型輔助方程的精確解。步驟2.利用雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì),選擇一種帶強(qiáng)迫項(xiàng)的混合型多時(shí)滯微分系統(tǒng)的形式解。步驟3.通過雙曲(三角)函數(shù)型輔助方程與形式解,將帶強(qiáng)迫項(xiàng)的混合型多時(shí)滯微分系統(tǒng)的求解問題轉(zhuǎn)化為非線性超定微分方程組的求解問題。步驟4.借助符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathematica求出該非線性超定微分方程組的解,并構(gòu)造帶強(qiáng)迫項(xiàng)的混合型多時(shí)滯微分系統(tǒng)的精確解。步驟5.用符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathematica來分析了解的穩(wěn)定性。二、利用李雅普諾夫方法,分析了兩種非線性微分方程的奇點(diǎn)分類、相圖分析、穩(wěn)定性和求解問題。首先,通過兩種函數(shù)變換,把廣義修正的Dullin-Gottwald-Holm(D-G-H)方程和Degasper is-Procesi(D-P)方程化為常微分方程組。在此基礎(chǔ)上,進(jìn)行如下兩項(xiàng)工作。1.利用動(dòng)力學(xué)方法,分析了兩種非線性微分方程的奇點(diǎn)分類、相圖分析和穩(wěn)定性問題。2.利用首次積分與輔助方程相結(jié)合的方法,研究了兩種非線性微分方程的求解問題。步驟1.用首次積分,將廣義修正的D-G-H方程和D-P方程的求解問題化為可求解的幾種非線性常微分方程。步驟2.利用幾種非線性常微分方程的Backlund變換等相關(guān)結(jié)論,構(gòu)造了兩種非線性微分方程的由Riemannθ函數(shù)、Jacobi橢圓函數(shù)、雙曲函數(shù)和三角函數(shù)組成的無窮序列新精確解。三、用一種非線性二階常微分方程的幾種結(jié)論,研究了兩種具任意次非線性項(xiàng)發(fā)展方程的求解與穩(wěn)定性問題。步驟1.利用函數(shù)變換與首次積分相結(jié)合的方法,給出了一種非線性二階常微分方程的新解、Backlund變換和解的非線性疊加公式。步驟2.通過函數(shù)變換,將廣義Camassa-Holm方程和廣義Fitzhugh-Nagumo方程的求解問題轉(zhuǎn)化為非線性常微分方程的求解問題。步驟3.通過選擇非線性常微分方程的形式解和一種非線性二階常微分方程,將非線性常微分方程的求解問題化為非線性代數(shù)方程組的求解問題。步驟4.借助符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathematica,求出非線性代數(shù)方程組的解。步驟5.根據(jù)步驟1和步驟4的結(jié)論,構(gòu)造了廣義Camassa-Holm方程和廣義Fitzhugh-Nagumo方程的由Jacobi橢圓函數(shù)、Riemannθ函數(shù)、雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和有理函數(shù)組成的多種無窮序列新解。這些解包括光滑孤立子解、尖鋒孤立子解和緊孤立子解。步驟6.用符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathematica,分析了解的性質(zhì)。
【學(xué)位單位】：內(nèi)蒙古師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O175.1
【文章目錄】：
中文摘要
abstract
第一章 緒論
    1.1 概述非線性微分系統(tǒng)穩(wěn)定性與求解問題的研究現(xiàn)狀
    1.2 本文的主要工作
        1.2.1 帶強(qiáng)迫項(xiàng)的混合型多時(shí)滯微分系統(tǒng)的求解與穩(wěn)定性研究
        1.2.2 兩種非線性發(fā)展方程的奇點(diǎn)分類、相圖分析與求解問題研究
        1.2.3 兩種具任意次非線性項(xiàng)的發(fā)展方程的求解與解的性質(zhì)研究..
第二章 帶強(qiáng)迫項(xiàng)的混合型多時(shí)滯微分系統(tǒng)的求解與穩(wěn)定性研究
    2.1 雙曲函數(shù)型輔助方程的相關(guān)結(jié)論
        2.1.1 雙曲函數(shù)型輔助方程與Riccati方程的B?cklund變換
        2.1.2 雙曲函數(shù)的兩種性質(zhì)
        2.1.3 Riccati方程及其解
    2.2 三角函數(shù)型輔助方程的相關(guān)結(jié)論
        2.2.1 三角函數(shù)型輔助方程與Riccati方程的B?cklund變換
        2.2.2 三角函數(shù)的幾種性質(zhì)
    2.3 雙曲函數(shù)型輔助方程與系統(tǒng)（1.24）,（1.25）的解與穩(wěn)定性
        2.3.1 帶強(qiáng)迫項(xiàng)的混合型多時(shí)滯微分系統(tǒng)的求解方法一
        2.3.2 遲滯微分系統(tǒng)（1.12）,（1.13）的求解方法一
        2.3.3 遲滯微分系統(tǒng)（1.12）,（1.13）的穩(wěn)定性分析
        2.3.4 結(jié)論
    2.4 三角函數(shù)型輔助方程與系統(tǒng)（1.24）,（1.25）的解與穩(wěn)定性
        2.4.1 帶強(qiáng)迫項(xiàng)的混合型多時(shí)滯微分系統(tǒng)的求解方法二
        2.4.2 遲滯微分系統(tǒng)（1.12）,（1.13）的求解方法二
        2.4.3 遲滯微分系統(tǒng)（1.12）,（1.13）的穩(wěn)定性分析
        2.4.4 結(jié)論
第三章 兩種非線性發(fā)展方程的奇點(diǎn)分類、相圖分析、穩(wěn)定性與求解問題研究
    3.1 廣義修正的D-G-H方程的奇點(diǎn)分類、相圖分析、穩(wěn)定性和求解問題研究
        3.1.1 兩種常微分方程的相關(guān)結(jié)論
        3.1.2 廣義修正的D-G-H方程的首次積分
        3.1.3 廣義修正的D-G-H方程的奇點(diǎn)分類、相圖分析與穩(wěn)定性
        3.1.4 廣義修正的D-G-H方程的無窮序列新解
        3.1.5 結(jié)論
    3.2 D-P方程的奇點(diǎn)分類、相圖分析、穩(wěn)定性和求解問題研究
        3.2.1 幾種常微分方程的相關(guān)結(jié)論
        3.2.2 D-P方程的奇點(diǎn)分類與穩(wěn)定性
        3.2.3 D-P方程與幾種可求解常微分方程的B?cklund變換
        3.2.4 D-P方程的無窮序列類孤子新解
        3.2.5 結(jié)論
第四章 兩種具任意次非線性項(xiàng)的發(fā)展方程的求解與解的性質(zhì)研究
    4.1 廣義Camassa-Holm方程的新解及其性質(zhì)
        4.1.1 二階非線性常微分方程的幾種結(jié)論
        4.1.2 廣義Camassa-Holm方程與函數(shù)變換
        4.1.3 廣義Camassa-Holm方程的無窮序列類孤子新解
        4.1.4 廣義Camassa-Holm方程的無窮序列孤子新解
        4.1.5 解的性質(zhì)分析
        4.1.6 結(jié)論
    4.2 廣義Fitzhugh-Nagumo方程的多種新解
        4.2.1 廣義Fitzhugh-Nagumo方程與函數(shù)變換
        4.2.2 Fitzhugh-Nagumo方程的無窮序列光滑孤立子新解
        4.2.3 Fitzhugh-Nagumo方程的無窮序列類孤子新解
        4.2.4 解的性質(zhì)分析
        4.2.5 結(jié)論
結(jié)束語
致謝
參考文獻(xiàn)
攻讀碩士學(xué)位期間獲得的科研成果目錄
附錄

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2856841