本文主要探討了點在不同基下的關(guān)系,β-動力系統(tǒng)和Cantor測度的點密度.我們計算了相關(guān)分形集的Hausdorff維數(shù)和點密度.本文分為六章.第一章介紹了分形幾何及本文主要問題的相關(guān)背景.第二章為預(yù)備知識,其中包括Hausdorff維數(shù)的定義和一些性質(zhì),以及本文中相關(guān)問題的所需要的預(yù)備知識.接下來的三個章節(jié),我們分別對上述三個方面的內(nèi)容進行詳細討論.在第三章中,我們考慮了Furstenberg's猜想維數(shù)形式的問題.具體介紹Fursten-berg猜測的具體內(nèi)容.我們知道Furstenberg's猜想對于幾乎所有(Lebesgue測度意義下)的實數(shù)都成立,因為幾乎所有的實數(shù)關(guān)于所有的整數(shù)都是正規(guī)的,因此,一個自然的問題是：除了正規(guī)數(shù)以外,我們是否可以找到一些實數(shù)使得它成立呢?本文中我們具體構(gòu)造出了一類非正規(guī)數(shù)使得下列維數(shù)公式成立.具體地說,我們證明了滿足的非正規(guī)數(shù)x∈[0,1)所構(gòu)成的集合是一個Hausdorff滿維集.在第四章中,我們考慮了任意點x∈(0,1]的β展式的性質(zhì),我們證明對于任意x1∈(0,1],x0∈[0,1]和任意區(qū)間(β0,β1)c(1,∞),使得(β0,β1)(?)(1,∞)中在Tβ變換下x1的軌道不以x0為聚點的β構(gòu)成的集合是Hausdorff滿維的.即我們所得的結(jié)論推廣了維數(shù)的結(jié)果,完善了Schmeling在測度意義下的理論.在第五章中,我們在一定條件下,獲得了對稱Cantor集上關(guān)于Cantor測度的點態(tài)密度的公式.具體地說：設(shè)E(a)為壓縮比為0的對稱Cantor集,本文在學(xué)0≤(?)的情況下,對于任意點x∈E(0)給出了(?)*s(μ,z)的公式.我們所得到的結(jié)論豐富了Feng的結(jié)果.在最后的第六章中,我們總結(jié)了本文的主要結(jié)果,然后又針對每一個結(jié)果提出了一些可以進一步研究的問題.
【學(xué)位單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2016
【中圖分類】：O189
【文章目錄】：
摘要
Abstract
1 緒論
    1.1 分形幾何
    1.2 b-進制展式
    1.3 β-動力系統(tǒng)
    1.4 Cantor測度的點密度
2 預(yù)備知識
    2.1 Hausdorff測度與Hausdorff維數(shù)
    2.2 b-進制展式
    2.3 β-展式與β-動力系統(tǒng)
    2.4 Cantor測度的點密度
3 一個關(guān)于點在不同基下軌道都稠密的維數(shù)結(jié)果
    3.1 一些記號
    3.2 Cantor集的構(gòu)造
    3.3 主要定理的證明
4 β-動力系統(tǒng)中軌道的逼近性質(zhì)
    4.1 基本事實
    4.2 主要定理的證明
5 Cantor測度的點態(tài)密度
    5.1 相關(guān)定義與記號
    5.2 主要結(jié)果
    5.3 基本事實
    5.4 估計(μ(B(x,r))/(2r)~s的值
    5.5 主要結(jié)果的證明
6 結(jié)論
    6.1 b-進制變換
    6.2 β-動力系統(tǒng)中軌道的逼近性質(zhì)
    6.3 Cantor測度的點密度
致謝
參考文獻
附錄1 攻讀學(xué)位期間發(fā)表論文目錄
附錄2 攻讀博士學(xué)位期間參與的科研項目

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