Quasi-Frobenius(簡稱QF)環(huán)的研究起源于有限群的表示理論.1941年,Nakayama定義了QF環(huán):R稱為QF環(huán),如果它是單邊artinian環(huán),而且對R的任一本原冪等元基本集,存在一個{1,2,…,n}的置換σ,使得Soc(Rek)≌ Reσ(k)/Jeσ(k)和Soc(eσ(k)R)≌ekR/ekJ.1966年,Osofsky證明了任一單邊完全和雙邊自內(nèi)射環(huán)是QF環(huán).后來許多學(xué)者將內(nèi)射性或鏈條件減弱,給出了許多新的等價刻畫.環(huán)R稱為右CS環(huán),如果R的每個右理想都在模RR的一個直和項中本質(zhì).環(huán)的CS性一方面源于von Neumann通過連續(xù)幾何對模型量子力學(xué)的研究,另一方面是對R的內(nèi)射性的自然推廣.上世紀(jì)六十年代,Utumi通過研究正則環(huán)引入了C1,C2,C3條件,C1條件就是我們所說的CS條件,后來許多學(xué)者將這些條件推廣到了一般的環(huán)上和模上.2000年,Smith定義了自c-內(nèi)射模:模M稱為自c-內(nèi)射的,如果對于M的任一閉子模欠,任意同態(tài)f:K → M可提升為同態(tài)f:M → M.受此啟發(fā),我們在文章中定義右C-內(nèi)射環(huán),并研究其性質(zhì).本文研究內(nèi)容包括以下兩方面.一、關(guān)于C-內(nèi)射環(huán)的研究.環(huán)R稱為右C-內(nèi)射環(huán),如果對R的任意閉右理想I,及任意的同態(tài)f:IR → RR,f可提升為RR到RR的同態(tài).其中I稱為環(huán)R的閉右理想,如果I是模RR的閉子模,即I在RR中沒有真的本質(zhì)擴(kuò)張.由定義知右CS環(huán)是右C-內(nèi)射環(huán),本文給出了兩個是右C-內(nèi)射而非右CS環(huán)的例子,說明右C-內(nèi)射環(huán)是右CS環(huán)的真推廣.在文章中,我們研究了右C-內(nèi)射環(huán)的性質(zhì),討論了環(huán)R上的矩陣環(huán)是右C-內(nèi)射環(huán)的充要條件,及R上列有限矩陣環(huán)是右C-內(nèi)射環(huán)的充要條件.并考慮了其他特殊環(huán)類如環(huán)R的角環(huán)、平凡擴(kuò)張及上三角矩陣環(huán)等的C-內(nèi)射性.二、關(guān)于QF環(huán)的研究.1992年,Armendariz和Park證明了環(huán)R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左自內(nèi)射的,R/Sr或R/Sl是左Goldie環(huán).2014年,陳建龍等在一篇關(guān)于QF環(huán)的綜述里提出了如下公開問題:若R是右自內(nèi)射環(huán),R/Sl為左Goldie環(huán),R是否為QF環(huán)?針對該問題,我們在左極小內(nèi)射或Sl(?)Sr條件下給出肯定的回答.即證明了若R是右自內(nèi)射環(huán)和R/Sl是左Goldie環(huán),則R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左極小內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Sl(?)Sr.隨后,我們將R的自內(nèi)射性條件減弱至右CS、右P-內(nèi)射條件.證明了若R是右CS、右P-內(nèi)射環(huán)和R/Sl是左Goldie環(huán),則R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左極小內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Sl(?)Sr.最后,我們又證明了若環(huán)R是半完全極小內(nèi)射的,Sr(?)ess RR,R/Sl是左Goldie環(huán),則R是QF環(huán).該結(jié)果改進(jìn)了Nicholson和Yousif的相關(guān)結(jié)論.
【學(xué)位單位】：東南大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O153.3

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3 趙玉娥;陳正新;王彩芬;;關(guān)于詣零n-內(nèi)射環(huán)[J];華中師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);2014年03期

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5 魏杰;董s

本文編號：2815325