【摘要】：本文第一部分討論下列由雙邊Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)刻畫的守恒型分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程其中,Ω =(0,1),0β1,0 ≤θ ≤ 1,K是常擴(kuò)散系數(shù),f ∈ L2(Ω)表示源或匯項(xiàng);(?)和D=dd/dx分別為關(guān)于時(shí)間、空間的一階導(dǎo)數(shù)算子,0Ixβ和xI1β是由(2.2.1)式定義的β階左、右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子.大量的實(shí)驗(yàn)表明,上述分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程較二階擴(kuò)散方程能更準(zhǔn)確地刻畫諸如湍流,混沌動(dòng)力學(xué),粘彈性力學(xué),地下污染滲流傳輸?shù)确闯U(kuò)散或非菲克現(xiàn)象,具有鮮明的物理背景與廣泛的應(yīng)用.由于難于利用傅里葉變換,拉普拉斯變換等方法求得一般分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問(wèn)題的解析解,人們通常采用有限元,有限差分方法求其數(shù)值解.為了滿足工程上的需要,理想的數(shù)值方法不僅應(yīng)同時(shí)關(guān)注未知函數(shù)及其通量,而且需滿足某種意義下的守恒律以反映物質(zhì)擴(kuò)散輸運(yùn)過(guò)程的數(shù)學(xué)物理特征.常規(guī)的思路是,通過(guò)引入分?jǐn)?shù)階通量p=-K(0Ixβ+(1-θ)xI1β)作為中間變量,建立恰當(dāng)?shù)陌包c(diǎn)變分原理,以此構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)的混合有限元方法.但由于算子oIxβDu,xI1βDu和刀不是對(duì)稱的,我們無(wú)法構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)碾p線性形式b(·,·)來(lái)滿足inf-sup條件.對(duì)此,陳煥貞和王宏[10]對(duì)空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,通過(guò)引入q = Du作為第二個(gè)中間變量,建立了相應(yīng)的鞍點(diǎn)原理,據(jù)此構(gòu)造了能同時(shí)高精度逼近未知函數(shù)與分?jǐn)?shù)階通量,且保持單元守恒的擴(kuò)展混合有限元方法.在本文中,我們借鑒[10]的思路,通過(guò)引入分?jǐn)?shù)階通量和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為中間變量,對(duì)上述依賴時(shí)間的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程建立了相應(yīng)的鞍點(diǎn)變分形式,構(gòu)造了局部守恒,可同時(shí)高精度逼近未知函數(shù),未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階通量的擴(kuò)展混合有限元格式,并利用向后歐拉方法對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散,建立了全離散擴(kuò)展混合有限元格式.進(jìn)一步,我們利用所導(dǎo)出的混合元方程組系數(shù)矩陣的可逆性,證明了全離散格式解的存在唯一性;借助離散的Growall不等式,證明了該離散格式的無(wú)條件穩(wěn)定性.在數(shù)值分析中,利用混合元投影算子的投影誤差估計(jì),得到全離散擴(kuò)展混合有限元格式的收斂階為O(τ十hmin{k+1,s-1 +β/2),這里τ,h,k分別表示時(shí)間步長(zhǎng)、空間步長(zhǎng)與有限元空間指數(shù).數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,文中提出的擴(kuò)展混合元數(shù)值格式可有效地模擬由上述守恒型分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程所刻畫的反常擴(kuò)散輸運(yùn)模型.但大量的反常擴(kuò)散或非菲克輸運(yùn)過(guò)程都表現(xiàn)為超擴(kuò)散現(xiàn)象,即關(guān)于時(shí)間與空間的導(dǎo)數(shù)均為分?jǐn)?shù)階情形.因此,在本文的第二部分,我們主要研究下列時(shí)空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問(wèn)題其中,(?)αu(x,t)表示α,0α1階Caputo 導(dǎo)數(shù).我們?nèi)酝ㄟ^(guò)引入未知函數(shù)的通量p =-K(θ0Ixβ+(1-θ)xI1β)Du和導(dǎo)數(shù)q =Du作為中間變量,以此建立相應(yīng)的鞍點(diǎn)變分形式與相應(yīng)的擴(kuò)展混合有限元格式,并對(duì)α階的Caputo導(dǎo)數(shù)采用L1格式離散,構(gòu)造出了全離散擴(kuò)展混合有限元方法.在數(shù)值分析中,我們采用數(shù)學(xué)歸納的思想以代替離散的Gronwall不等式,通過(guò)復(fù)雜的分析論證,建立了全離散擴(kuò)展混合元方法的收斂性理論,關(guān)于未知函數(shù)u收斂階為O(τ2α十hmin{k+1,s-1+β/2}),關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)與分?jǐn)?shù)階數(shù)值通量p的收斂階為O(τ23α/2+hmrn-k+1,s-1+β/2}).文中數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,所提出的L1全離散擴(kuò)展混合有限元格式具有理想的數(shù)值逼近效果.
【學(xué)位授予單位】：山東師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：2773941