【摘要】：眾所周知,研究非線性微分方程的解析解和可積性有利于解釋相應物理現(xiàn)象和工程應用.本文主要研究幾類非線性微分方程的解析解、對稱性、守恒率及其Riemann-Hilbert 問題.本文第二章和第三章主要通過發(fā)展Bell多項式和Riemann Theta函數(shù)的相關知識,來研究廣義的(3+1)-維KdV-型方程,并得到了方程的雙線性表示、孤子解、雙線性Backlund變換,Lax對以及無窮守恒律.同時也構造了它的一周期波解和二周期波解,并詳細地分析了它們的漸近性性質(zhì),證明了在一定的約束條件下,一個方程的周期解可以退化為其孤子解.在第四章,通過推廣李群的知識,對廣義耦合的Whitham-Broer-Kaup-Like方程進行詳細的李對稱分析,得到方程所對應的向量場.在此基礎上,研究了其伴隨性質(zhì)、最優(yōu)系統(tǒng)、相似約化及其冪級數(shù)解.此外,通過發(fā)展新的守恒率定理,系統(tǒng)的構造了耦合的Whitham-Broer-Kaup-Like方程所對應的守恒律.在第五章,基于(2+1)-維Ito方程和廣義(3+1)-維Kadomtsev-Petviashvili方程的雙線性表示,成功的得到了這兩個方程的解析解,包括呼吸波解和怪波解.并對方程的呼吸波和怪波的動力行為進行了圖形模擬和分析.這些解能夠反應怪波和呼吸波的基本特性.另外,通過引入兩個密度函數(shù),成功獲得了一個新的廣義(3+1)-維Kadomtsev-Petviashvili方程的怪波解和組合解,并對這類怪波解和組合解進行了圖形模擬和分析.特別的,這種組合解能夠反應孤波與怪波之間的相互作用現(xiàn)象.另外,通過推廣Bell多項式的相關知識,詳細的構造了廣義(2+1)-維Boussinesq方程的雙線性表示,然后基于該方程的雙線性表示,系統(tǒng)的推到了該方程的的呼吸波解和怪波解.然后并詳細地分析了它們的漸近性性質(zhì),證明在特定的條件下,一個方程的呼吸波解能趨于其對應的怪波解.最后對這類解進行了詳細的圖像模擬和分析.接下來,通過推廣Riemann-Hilbert方法,研究了一個耦合薛定諤方程的Riemann-Hilbert問題,然后基于該方程的Riemann-Hilbert問題,詳細的構造了方程所對應多維孤子解.另外,通過圖像模擬這類孤子解的傳播現(xiàn)象.最后,對全文進行了總結和展望.
【學位授予單位】：中國礦業(yè)大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O175
【圖文】：

圖３－２廣義ＫｄＶ－型方程（３．１）在參數(shù)條件滬＝ｆ邋ｆ邋ａｎｄ砷＝０，坍＝妁＝ｆｔ邋＝邋１，陽＝逡逑／？ｆｃ．２邐＾２邐ｋ２逡逑＂２邋—邋0２邋—邋0．３，邋Ｔ］＿ｌ邋—邋�。保插濉�0．５ｉ，邋Ｔ＂２２邋—邋２ｉ，邋0Ｌ邋—邋—邋１，邋ｊ３邋—邋２，邋＾邋—邋４，邋Ｓ＼邋—邋０）邋Ｓ２邋—邋Ｏ５邋＾邋—邋１邋下又寸逡逑應的２－周期解的圖像．其中（ａ）立體圖；（ｂ）俯視圖；（ｃ）等高線圖；（ｄ），（ｅ），（ｆ）分別為２－周期解沿逡逑ｚ軸，ｙ軸，〖軸的波傳播形式．逡逑Ｆｉｇｕｒｅ邋３－２邋Ａ邋ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ邋ｔｗｏ－ｐｅｒｉｏｄｉｃ邋ｗａｖｅ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ邋ＫｄＶ－ｌｉｋｅ邋ｍｏｄｅｌ邋ｅｑｕａｔｉｏｎ邋（３．１）邋ｗｉｔｈ逡逑ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ：邐＝邋＾邋＝邋＾邋ａｎ＾邋ｕｏ邋—邋0？邋Ｍｉ邋—邋＾１邋—邋＾１邋—邐＝邋１＾２邋＝邋Ｑ２邋＝邋0－３，ｒｎ邋＝逡逑ｚ，邋ｒ１２邋＝邋０．５ｉ，邋ｒ２２邋＝邋２ｉ，邋ａ邋＝邋—邋１，邋／３邋＝邋２，７邋＝邋４，６ｘ邋＝邋０，邋￡２邋—邋0邋ｗｉｔｈ邋ｚ邋＝邋１．邋Ｔｈｉｓ邋ｆｉｇｕｒｅ邋ｓｈｏｗｓ邋ｔｈａｔ逡逑ｔｗｏ－ｐｅｒｉｏｄｉｃ邋ｗａｖｅ邋ｉｓ邋ａｌｍｏｓｔ邋ｏｎｅ邋ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，邋（ａ）邋Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ邋ｖｉｅｗ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｒｅａｌ邋ｐａｒｔ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｐｅｒｉｏｄｉｃ逡逑ｗａｖｅ邋Ｒｅ（ｕ）．邋（ｂ）邋Ｔｈｅ邋ｏｖｅｒｈｅａｄ邋ｖｉｅｗ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｗａｖｅ，邋（ｃ）邋Ｔｈｅ邋ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ邋ｃｏｎｔｏｕｒ邋ｐｌｏｔ，邋（ｄ）邋Ｔｈｅ邋ｗａｖｅ逡逑ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ邋ｐａｔｔｅｒｎ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｗａｖｅ邋ａｌｏｎｇ

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【參考文獻】

相關期刊論文 前2條

1 陳登遠;Bcklund變換與n孤子解[J];數(shù)學研究與評論;2005年03期

2 曹策問;NONLINEARIZATION OF THE LAX SYSTEM FOR AKNS HIERARCHY[J];Science in China,Ser.A;1990年05期

本文編號：2750301