【摘要】：經(jīng)典薛定諤算子-△+V的研究起源于非相對(duì)性量子力學(xué).經(jīng)過半個(gè)多世紀(jì)的深入發(fā)展,薛定諤算子已成為數(shù)學(xué)研究的核心對(duì)象,其不僅有豐富的理論研究?jī)?nèi)容,而且在調(diào)和分析、偏微分方程及微分幾何等眾多領(lǐng)域有著廣泛的聯(lián)系和應(yīng)用.尤其近二十年來,薛定諤算子的色散估計(jì)在非線性薛定諤方程解的適定性和散射理論的研究中扮演著不可缺少的角色.作為二階薛定諤算子的自然推廣,本文主要探討四階薛定諤算子△2 + V.它的研究在非線性四階薛定諤方程、梁方程以及共形幾何等學(xué)科中有重要應(yīng)用.具體地,在文中我們系統(tǒng)地研究四階薛定諤算子△2 + V的各種色散估計(jì),其中包括Kato-Jensen估計(jì)、局部衰減估計(jì)、Lp-衰減估計(jì)和Strichartz等估計(jì),同時(shí)也探討了一般高階薛定諤算子的嵌入特征值問題.最后作為應(yīng)用,我們研究了非線性四階薛定諤方程解的散射問題.本文共分為六章:在第一章中,我們概述研究問題的背景及國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀,并簡(jiǎn)要介紹本文的主要工作及相關(guān)預(yù)備知識(shí)和一些記號(hào).在第二章中,我們建立四階薛定諤算子△2 +V的預(yù)解算子R(△2 + V;z)的低能漸進(jìn)估計(jì)和高能衰減估計(jì),即在加權(quán)Sobolev空間Hσs(Rd)中,當(dāng)z → 0時(shí),預(yù)解算子的漸進(jìn)行為;以及當(dāng)z → ∞時(shí),預(yù)解算子的衰減估計(jì).利用預(yù)解算子估計(jì),通過極限吸收推出算子△2 + V的譜密度dE(λ)在λ → 0時(shí)的漸進(jìn)性態(tài)和λ → ∞時(shí)的衰減估計(jì).在第三章中,在預(yù)解算子估計(jì)的基礎(chǔ)上,我們證明薛定諤群eit(△2+V)的局部衰減估計(jì)和Kato-Jensen估計(jì).在最后一節(jié)中,從局部衰減估計(jì)出發(fā),利用交換子方法,我們建立了四階薛定諤傳播子eit(△2+V)的Kato-Jensen型逐點(diǎn)估計(jì).在第四章中,利用局部衰減估計(jì)和Kato-Jensen估計(jì),我們進(jìn)一步建立了eit(△2+V)的 Strichartz 估計(jì)和 L1 ∩ L2 → L∞ + L2 的衰減估計(jì)(Ginibre 型估計(jì)).在維數(shù)d = 3時(shí),我們得到了 L1(R3)→ L∞(R3)的衰減估計(jì).在第五章中,我們研究高階薛定諤型算子P(D)+ V的嵌入特征值問題,其中P為m階齊次橢圓多項(xiàng)式.一方面,對(duì)于某些高階微分算子P(D),我們能夠構(gòu)造位勢(shì)函數(shù)V∈C0∞(Rd),使得P(D))+ 存在正特征值嵌入到其連續(xù)譜中.另一方面,利用Virial等式,我們建立了一個(gè)高階算子P(D)+ V不存在嵌入特征值的位勢(shì)判別準(zhǔn)則.在第六章中,我們研究非線性四階薛定諤方程iut +(△2 + V)u + λ|u|p-1u = 0,(t,x)∈ R × Rd,u(0,x)= u0(x),在能量空間H2(Rd)中的散射問題.利用已建立的Strichartz估計(jì),我們首先建立方程的全局適定性.其次在維數(shù)d ≥ 7時(shí),利用Morawetz估計(jì),我們得到了該方程在能量空間中散射的結(jié)果.
【學(xué)位授予單位】：華中師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175.3;O413

【相似文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 趙博;;韋小寶與薛小貓——《量子、貓與羅曼史:薛定諤傳》書評(píng)[J];科普創(chuàng)作;2018年03期

2 尹傳紅;王敘;;薛定諤:量子王國(guó)的“立法”者[J];知識(shí)就是力量;2017年07期

3 ;喜歡什么就去學(xué)什么吧[J];家教世界;2017年26期

4 拓軒;;薛定諤的動(dòng)物園[J];大科技(科學(xué)之謎);2015年09期

5 胡新和;;薛定諤:為人類理解自然和自身而奮斗[J];自然辯證法通訊;1986年02期

6 周奇;薛定諤和他的科學(xué)成就──紀(jì)念薛定諤誕辰一百周年[J];大學(xué)物理;1987年08期

7 J.A.Witkowski;郝軍山;;薛定諤與生物科學(xué)[J];科學(xué)、技術(shù)與辯證法;1988年01期

8 葛松林;;為薛定諤辯護(hù)的三封信[J];世界科學(xué);1988年07期

9 楊振寧;唐賢民;;負(fù)一的平方根、復(fù)相位與薛定諤[J];自然雜志;1988年01期

10 沈亞先;波動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)立者——薛定諤[J];現(xiàn)代物理知識(shí);1989年03期

相關(guān)會(huì)議論文 前2條

1 王鵬;薛紜;;彈性細(xì)桿靜力學(xué)的薛定諤粒子波動(dòng)比擬[A];第十二屆全國(guó)分析力學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議摘要集[C];2016年

2 齊世飛;楊忠志;;單電子薛定諤局域動(dòng)能與原子的殼層結(jié)構(gòu)[A];中國(guó)化學(xué)會(huì)第九屆全國(guó)量子化學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議暨慶祝徐光憲教授從教六十年論文摘要集[C];2005年

相關(guān)重要報(bào)紙文章 前10條

1 楊悅祺;“薛定諤的”網(wǎng)紅民宿[N];21世紀(jì)經(jīng)濟(jì)報(bào)道;2019年

2 韓哲;中年、薛定諤和經(jīng)濟(jì)進(jìn)步[N];北京商報(bào);2017年

3 記者 陳怡;捕捉“薛定諤之貓”與未來量子技術(shù)[N];上�？萍紙�(bào);2012年

4 方在慶;生與死：薛定諤的貓[N];光明日?qǐng)?bào);2001年

5 胡新和;薛定諤：愛情方程及其貓[N];中華讀書報(bào);2001年

6 姚晨輝;聆聽科學(xué)大師的哲學(xué)思考[N];光明日?qǐng)?bào);2002年

7 南方日?qǐng)?bào)記者 雷雨　實(shí)習(xí)生 郭翔宇;捕獲“薛定諤之貓”[N];南方日?qǐng)?bào);2012年

8 吳保來;一只特立獨(dú)行的貓——薛定諤之貓[N];學(xué)習(xí)時(shí)報(bào);2013年

9 《電腦報(bào)》《金融博覽》特邀作者 Beepee;“薛定諤的貓”其實(shí)最安全[N];電腦報(bào);2016年

10 本報(bào)記者 沈湫莎;牛頓懷抱“薛定諤的貓”[N];文匯報(bào);2013年

相關(guān)博士學(xué)位論文 前10條

1 蔡傲;有限光滑擬周期線性Cocycle的約化及其應(yīng)用[D];南京大學(xué);2018年

2 楊凱龍;無窮維向量值非線性薛定諤共振系統(tǒng)的柯西問題[D];中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué);2019年

3 馮紅亮;四階薛定諤算子的衰減估計(jì)及其在非線性色散方程中的應(yīng)用[D];華中師范大學(xué);2018年

4 張世文;擬周期薛定諤算子的譜分析[D];南京大學(xué);2016年

5 姚瀟;動(dòng)力系統(tǒng)及薛定諤算子中的幾個(gè)問題[D];清華大學(xué);2016年

6 劉志蘇;薛定諤泊松方程與基爾霍夫方程解的存在性研究[D];湖南大學(xué);2015年

7 張勇;薛定諤—泊松方程組的數(shù)值計(jì)算和分析及其應(yīng)用[D];清華大學(xué);2012年

8 高文華;具有反霍爾德類勢(shì)的薛定諤算子的一些估計(jì)[D];新疆大學(xué);2008年

9 朱露;耗散型薛定諤方程解的大時(shí)間性態(tài)[D];南京大學(xué);2014年

10 張紅梅;薛定諤型方程的兩網(wǎng)格解法[D];湘潭大學(xué);2015年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前10條

1 劉紫玉;兩類基爾霍夫薛定諤型方程解的存在性研究[D];中北大學(xué);2019年

2 劉志鵬;基于位函數(shù)的麥克斯韋—薛定諤耦合系統(tǒng)的時(shí)域有限差分方法[D];安徽大學(xué);2019年

3 李良;薛定諤映射的靜態(tài)解和爆破問題研究[D];云南民族大學(xué);2018年

4 劉敬梅;薛定諤—泊松方程的基態(tài)解與變號(hào)解[D];曲阜師范大學(xué);2018年

5 牟孟鈞;含奇異項(xiàng)的基爾霍夫—薛定諤—泊松方程的正解[D];山東師范大學(xué);2018年

6 周艷婷;關(guān)于Landau-Lifshitz方程的一些研究[D];云南師范大學(xué);2018年

7 林爽;長(zhǎng)短程作用下一類非線性薛定諤系統(tǒng)解的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為[D];延邊大學(xué);2018年

8 冷楠楠;《愛因斯坦的骰子和薛定諤的貓》（節(jié)選）翻譯報(bào)告[D];山東師范大學(xué);2017年

9 王瑤楠;《愛因斯坦的骰子和薛定諤的貓》（節(jié)選）翻譯報(bào)告[D];山東師范大學(xué);2017年

10 周君;薛定諤意識(shí)理論研究[D];華中師范大學(xué);2017年

，

本文編號(hào)：2630180