【摘要】：現(xiàn)如今,反問題的研究已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)、物理、工程等各個領(lǐng)域.由于反問題在應(yīng)用中的重要性,其理論在過去幾十年中得到了廣泛的發(fā)展.微分方程中的系數(shù)項通常與被建模的系統(tǒng)的物理屬性相關(guān).在簡單的情況下,這些物理屬性可以直接從實驗所獲得的數(shù)據(jù)中識別出來.在復(fù)雜情況下,難以或不可能直接測量與模型方程中系數(shù)相關(guān)的物理屬性,只能通過間接測量與解相關(guān)的數(shù)據(jù)或附加信息來確定微分方程中的系數(shù),這種問題稱為微分方程系數(shù)重構(gòu)問題.本文主要研究了微分方程系數(shù)重構(gòu)問題中的兩類問題:第一類是將曲線或曲面視為待定系數(shù)的微分方程的解,通過離散數(shù)據(jù)點重構(gòu)滿足要求的微分方程的系數(shù).曲線曲面造型和設(shè)計中的傳統(tǒng)方法可以構(gòu)造出光滑且高精度的曲線和曲面.但是,在許多應(yīng)用中,曲線和曲面不僅需要滿足幾何設(shè)計的要求,而且還需要滿足一些與切矢條件相關(guān)的物理特性.為了達(dá)到此要求,本文選擇基于離散數(shù)據(jù)點或離散數(shù)據(jù)點及切矢來重構(gòu)一階線性微分方程,進(jìn)而用該方程的解去表示曲線或曲面.第二類是基于附加條件的拋物型微分方程系數(shù)重構(gòu)問題.拋物型微分方程系數(shù)重構(gòu)問題已成為近年來國內(nèi)外的研究熱點領(lǐng)域之一.雖然在這方面已有很多研究成果,但在理論及數(shù)值算法上還有許多問題需要深入研究.特別對拋物型微分方程中多個系數(shù)重構(gòu)問題的研究尚不充分.本文考慮了兩個同時確定拋物型微分方程中兩個系數(shù)的問題.本文主要工作如下:1基于離散數(shù)據(jù)點或離散數(shù)據(jù)點及切矢信息重構(gòu)一階微分方程,使得該微分方程的解曲線或曲面能夠擬合這些數(shù)據(jù)點或數(shù)據(jù)點及切矢.為了便于曲線或曲面表示,需要考慮具有顯式解的微分方程.(1)第二章討論了基于給定離散數(shù)據(jù)點重構(gòu)一階線性常系數(shù)微分方程的反問題.在曲線或曲面擬合和逼近中,若數(shù)據(jù)點對應(yīng)的參數(shù)選擇不當(dāng)會造成擬合或逼近精度較差,為了避免曲線擬合和逼近中的參數(shù)化所引起的這類問題,提出了基于給定離散數(shù)據(jù)點的法向量重構(gòu)微分方程系數(shù)矩陣的模型和相應(yīng)的算法,并對算法進(jìn)行了理論分析:己知解曲線上若干精確的數(shù)據(jù)點,當(dāng)這些數(shù)據(jù)點組成的集合“不退化”時,由本章的算法重構(gòu)的微分方程的系數(shù)矩陣是唯一的.進(jìn)一步,討論了用本章的算法重構(gòu)的系數(shù)矩陣與精確的系數(shù)矩陣之間的誤差的界.數(shù)值算例驗證了該算法的有效性.(2)第三章為適應(yīng)于一般曲線或曲面的離散數(shù)據(jù)點及切矢,提出了基于齊次變系數(shù)微分方程重構(gòu)曲線或曲面的方法.首先,考慮了具有特定形式的微分方程,使其具有顯式解的表達(dá)式,并滿足解曲線或曲面的末端插值條件.本文提出了基于可對角化微分方程擬合曲線或曲面的方法,并給出了相應(yīng)的算法,該算法重構(gòu)的曲線曲面能夠滿足末端插值條件.進(jìn)一步,對于同時包含解曲線或曲面的離散數(shù)據(jù)點及切矢的情況,提出了基于齊次變系數(shù)微分方程的擬合模型.數(shù)值實驗結(jié)果驗證了本章算法及模型的有效性.(3)第四章依據(jù)非齊次微分方程與解曲線曲面的指數(shù)表示之間的關(guān)系,提出了基于離散數(shù)據(jù)點重構(gòu)非齊次微分方程的算法,該算法重構(gòu)的曲線或曲面滿足末端插值條件,并通過數(shù)值實驗驗證了本章算法的有效性.2基于附加條件的拋物型微分方程系數(shù)重構(gòu)問題的研究(1)第五章考慮了帶熱流條件和定點條件的拋物型微分方程中僅依賴時間變量的兩個系數(shù)的重構(gòu)問題,建立了該問題解的存在唯一性條件.同時還提出了一種通過變換用差分法和優(yōu)化方法求解該問題的數(shù)值方法.數(shù)值算例顯示了本文提出的方法具有很好的逼近精度且對含噪數(shù)據(jù)具有一定的魯棒性.(2)第六章考慮了帶Dirichlet邊界條件和積分條件的拋物型微分方程中僅依賴時間變量的兩個系數(shù)的重構(gòu)問題,建立了該問題解的存在性和唯一性條件.同時還提出了一種用優(yōu)化方法和差分法迭代求解該問題的數(shù)值方法.在該數(shù)值方法中,用B樣條函數(shù)來逼近未知系數(shù),并提出了一種可以自適應(yīng)地同時選擇待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中兩個B樣條函數(shù)的節(jié)點的方法.數(shù)值算例顯示了本文提出的方法具有很好的逼近精度且對含噪數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的魯棒性.
【圖文】：

逡逑圖３．８，最大數(shù)據(jù)點擬合誤差見圖３．９，最大切矢擬合誤差見圖３．１０．逡逑r>逡逑５２邋＾邐＾邋ｅｘａｃｔ邋ｔａｎｇｅｎｔ邐ｌ逡逑來邋ｆｉｔｔｉｎｇ邋ｄａｔａ邋ｂｙ邋Ｐ４邋ｍｏｄｅｌ邐Ｖ逡逑邐＾－ｆｉｔｔｉｎｇ邋ｔａｎｇｅｎｔ邋ｂｙ邋Ｐ４邋ｍｏｄｅｌ邐１逡逑４３邋－邐0邋ｆｉｔｔｉｎｇ邋ｄａｔａ邋ｂｙ邋Ｐ３邋ｍｏｄｅｌ邐＼邋－逡逑邐＾－ｆｉｔｔｉｎｇ邋ｔａ

逡逑有１４１個點２．圖３．１７和圖３．１８給出了用算法３．４及Ｂ樣條擬合的曲線，，最大擬合誤差見逡逑表邋３＿７＿逡逑Ｓａｍｐｌｅ邋ｐｏｉｎｔｓ逡逑＼邐．邐－邋－邋Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ邋３．４逡逑１２０邋—邐；邋ｌ邋Ｉ邋ｌ
【學(xué)位授予單位】：大連理工大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O241.81

【參考文獻(xiàn)】

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1 楊軍;曾曉明;;Loop細(xì)分曲面精確求值新公式[J];計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報;2007年07期

2 黃德生,關(guān)鵬,周寶森;SIR模型對北京市SARS疫情流行規(guī)律的擬合研究[J];疾病控制雜志;2004年05期

3 吳建成;魏明果;李瑩華;;拋物型方程的一個反問題[J];哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報;1989年05期

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本文編號：2623316